ab/a^2+3b^2+...<=3/4

M_Sharifi · 1389/6/11

یِه سوال:
برای اعداد حقیقی و مثبت

$a,b,c$

ثابت کنید

[center:9590e59ba6]

$\frac{ab}{a^2+3b^2}+\frac{bc}{b^2+3c^2}+\frac{ca}{c^2+3a^2}\leq\frac34$

[/center:9590e59ba6]

seifi_seifi · 1389/6/21

آقا شریفی من با mixing حل کردم. راه حل ساده تری هم داره؟

M_Sharifi · 1389/6/21

seifi_seifi گفت

بله. اول این که
[center:ec4ff6d56c]

$\sum\frac{ab}{a^2+3b^2}\leq\frac1{2\sqrt2}\sum\frac a{\sqrt{a^2+b^2}}$

بعد، از نابرابری

$\frac1{\sqrt{1+x^2}}+\frac1{\sqrt{1+y^2}}\leq\frac2{\sqrt{1+xy}}$

برای

$xy\leq1$

استفاده کنید.

[/center:ec4ff6d56c]