e(x_1+x_2+...+x_n

M_Sharifi · 1389/1/11

یه سوال:
فرض کنید

$x_1,x_2,\ldots,x_n$

اعدادی مثبت اند. ثابت کنید

[center:8e37019a78]

$x_1+\sqrt{x_1x_2}+\cdots+\root{n}\of{x_1x_2\cdots x_n}\leq e(x_1+x_2+\cdots+x_n)$

[/center:8e37019a78]

Aref · 1391/3/27

پاسخ : e(x_1+x_2+...+x_n

بنابر نابرابری حسابی هندسی داریم:

$\left(\sum _{i=1}^k{\frac{x_i^\frac{1}{p}}{k}}\right)^p\ge \sqrt[k]{x_1x_2\dots x_k}$

اکنون طبق نابرابری هولدر داریم:

$\sum_{k=1}^{n}x_k^\frac{1}{p}\left(\sum _{i=1}^k{\frac{x_i^\frac{1}{p}}{k}}\right)^{p-1}\le \left(\sum_{k=1}^{n}x_k \right)^{\frac{1}{p}}\left(\sum_{k=1}^{n} \left(\sum _{i=1}^k{\frac{x_i^\frac{1}{p}}{k}}\right)^{p}\right )^{\frac{p-1}{p}}$

حال کافیست ثابت کنیم:

$\sum_{k=1}^{n}x_k^\frac{1}{p}\left(\sum _{i=1}^k{\frac{x_i^\frac{1}{p}}{k}}\right)^{p-1}\ge \frac{p}{p-1}\sum_{k=1}^{n}\left(\sum _{i=1}^k{\frac{x_i^\frac{1}{p}}{k}}\right)^{p}$

که اینم خودتون ثابت کنید. بعد یه حد بگیرید، مساله نتیجه میشه.

mahanmath · 1391/3/27

پاسخ : e(x_1+x_2+...+x_n

Carleman's inequality - Wikipedia, the free encyclopedia

e(x_1+x_2+...+x_n

M_Sharifi

راهبر ریاضی

Aref

New Member

mahanmath

New Member