.:imo 2015:.

حمید آنالیز · 1394/4/19

سلام دوستان امروز روز اول imo برگزار شد و هر کس تونست سوالارو ترجمه کنه بزاره منم سعی خود را میکنم!/www.artofproblemsolving.com/community/c6h1112746_2015_imo_day_1
خوب سوال یک:قرار بدید sرا مجموعه متناهی از نقاط روی صفحه را متوازن وقتی که برای هر دوتایی A,Bعضو sهمواره نقطه ای مانند cکه عضوsاست وجود دارد که AB=BC.
و ما میدانیم sرا مرکز خالی که برای سه تایی متفاوت A,B,Cعضو s ,وجود نداشته باشد نقطه ای مانند Pکه داشته باشیم

A=PB=PC
a)ثابت کنید برای هر

ساختار متوازنی از nنقطه وجود داشته باشد.
b)پیدا کنین همه ی

که ساختار هم متوازن و هم مرکز خالی ازnنقطه را داشته باشند!

خوب سوال دو:همه ی اعداد صحیح مثبت

$(a,b,c)$

را بیابین که همه ی

$ab-c,bc-a,ac-b$

توان های دو باشند!

---- دو نوشته به هم متصل شده است ----

سوال 3 را یکی لطف کنه ترجمه کنهمن ترجمه هندسم ضعیفه!!!

---- دو نوشته به هم متصل شده است ----

آقا ببخشیندا ولی این سوال دو چرا اینقدر اسون دادند امسال؟!!!موندم وقتی سوالو دیدم!

TheOverlord · 1394/4/19

پاسخ : .:imo 2015:.

سلام
انقدر آسون نيست. آيا همه جوابها را درآورديد؟

حمید آنالیز · 1394/4/19

پاسخ : .:imo 2015:.

TheOverlord گفت

بله فک کنم چهارتا بودش دیگه اولش محدود کردم بازه رو بعد اثبات!

---- دو نوشته به هم متصل شده است ----

آريالای دادگر نیا چطور دادن پیشتونه؟

Dadgarnia · 1394/4/20

پاسخ : .:imo 2015:.

حمید آنالیز گفت

به نظر منم اینقدر ساده نبود. من خودم فقط یه جواب براش بدست آوردم و احتمالا چند جا جوب زدم. لطفا راه حلتونو بذارین تا درستیشو بررسی کنیم.
به طور کلی زیاد خوب نبود. من فقط برای 2 و 3 و 5 و 6 یه چیزایی نوشتم که تا حالا فهمیدم سوال 5 رو کلا جوب زدم.
سوالا هم اینجا به زبان فارسی هست: International Mathematical Olympiad

nsg2000gh · 1394/4/20

پاسخ : .:imo 2015:.

آقای حمید آنالیز میشه لطفا جوابتونو کامل بنویسید من فکر می کنم اصلا نمی شه 3 عدد به نام a,b,c انتخاب کرد بطوری که هر سه شرط بالا براشون صدق کنند چون نمیشه که توی هر سه مورد جواب مثبت باشه بازم مطمئن نیستم میشه جوابایی رو که بدست آوردید بذارید . ممنون

Dadgarnia · 1394/4/20

پاسخ : .:imo 2015:.

nsg2000gh گفت

ببینید مثلا درجه

$ab$

دوئه و درجه

$c$

یکه پس بدیهتا بی نهایت سه تایی پیدا میشن که هر سه عبارت مثبت بشن. کلا چهار تا جواب داره (البته جایگشت های مختلف این اعداد هم جوابند):

$(a,b,c)=(2,2,2),(2,2,3),(2,6,11),(3,5,7)$

nsg2000gh · 1394/4/20

پاسخ : .:imo 2015:.

بله کاملا درسته فقط در مورد مجموعه ی اولی 3و5 و 7 ممکن نیست 15 رو منهای 7 کنیم میشه 8 و مربع نیست یه سوال دیگه شما همینجوری اعداد رو امتحان کردید و حدس زدید ؟

حمید آنالیز · 1394/4/20

پاسخ : .:imo 2015:.

nsg2000gh گفت

منظور مربع بودن نیست منظور توانی از دو بودنه!
باشه تا فردا تو یه کاغذ تمیز مینویسم و آپ میکنم!باشه؟الان حال ندارم بنویسم

nsg2000gh · 1394/4/20

پاسخ : .:imo 2015:.

وای ببخشید اصلا به این دقت نکردم ، توانی از دو خیلی ممنون نیازی نیست :85:

Dadgarnia · 1394/4/20

پاسخ : .:imo 2015:.

راهی که من نوشتم:
قرار میدیم

$ab-c=2^{i},bc-a=2^{j},ca-b=2^{k}$

. ابتدا فرض می کنیم یکی از

$i,j,k$

صفر باشند بنابر تقارن فرض می کنیم

$i=0$

و

$a\geq b$

. واضحه که

$a,b$

هر دو زوج اند. با فرض

$\gcd(a,b)=d$

و

$a=da_1,b=db_1$

داریم:

$c=ab-1\Rightarrow ab^2-a-b=2^{j}|2^{k}=a^2b-a-b\Rightarrow ab^2-a-b|ab(a-b)$

$d^2a_1b_1^2-a_1-b_1|d^2a_1b_1(a_1-b_1)$

با استفاده از لم اقلیدس بدست میاد:

$d^2a_1b_1^2-a_1-b_1|d^2(a_1-b_1)$

اگه

$a_1=b_1$

باشه داریم:

$a(a^2-2)=2^{j}$

چون

$a^2-2\equiv 2\pmod 4$

باید داشته باشیم

$a^2-2=2$

چون در غیر اینصورت

$a^2-2$

عامل اول و فردی داره که تناقضه پس

$a=b=2,c=3$

. حالا فرض می کنیم

$a_1>b_1>1$

که بدست میاد:

$d^2a_1b_1^2-a_1-b_1\leq d^2a_1-d^2b_1\Rightarrow 0< a_1(d^2(b_1^2-1)-1))\leq -b_1(d^2-1)< 0$

که تناقضه پس

$b_1=1$

. داریم:

$d^2a_1-a_1-1|d^2(a_1-1)\Rightarrow d^2a_1-a_1-1|a_1+1-d^2$

اگه

$a_1+1>d^2$

بدست میاد:

$d^2(a_1+1)\leq 2(a_1+1)\Rightarrow d\leq 1$

که تناقضه. اگه

$a_1+1<d^2$

داریم:

$d^2a_1\leq d^2\Rightarrow a_1\leq 1$

که این هم تناقضه پس

$a_1=d^2-1$

که بدست میاد:

$d^3(d^2-2)=2^{j}$

مثل قبل می تونیم بدست بیاریم

$d^2-2=2$

که نتیجه میده

$b=2,a=6,c=11$

. حالا فرض می کنیم

$0<i\leq j\leq k$

که نتیجه میده

$b\leq a\leq c$

. واضحه که

$a\equiv b\equiv c\equiv 0\pmod 2$

یا

$a\equiv b\equiv c\equiv 1\pmod 2$

. ابتدا فرض می کنیم

$a\equiv b\equiv c\equiv 0\pmod 2$

. داریم:

$bc-a|ca-b\Rightarrow 2^{j}=bc-a|a(c^2-1)$

با استفاده از لم اقلیدس بدست میاد:

$bc-a|a\Rightarrow bc\leq 2a\leq 2c\Rightarrow b=2\Rightarrow c=a\Rightarrow a^2-2=2^{k}\Rightarrow a=b=c=2$

حالا فرض می کنیم

$a\equiv b\equiv c\equiv 1\pmod 2$

. مثل قبل داریم:

$2^{j}=bc-a|a(c-1)(c+1)$

باز هم با استفاده از لم اقلیدس داریم:

$2^{j}|(c-1)(c+1)\Rightarrow \frac{bc-a}{2}=2^{j-1}|c\pm 1\Rightarrow bc\leq 2c+a\pm 2\leq 3c\pm 2\Rightarrow b=3$

$\Rightarrow 3c-a|2c+2\Rightarrow 3c-a|2a+6\Rightarrow a\leq c\leq a+2$

حالا دو حالت پیش میاد. اگه

$c=a$

بدست میاد

$a=2^{j-1}$

که چون

$a$

فرده باید داشته باشیم

$a=1$

که تناقضه پس

$c=a+2$

. حالا داریم:

$2a-2=2^i,2a+6=2^j\Rightarrow 2^{j-1}-2^{i-1}=4\Rightarrow j=4,i=3$

و از اینجا هم جواب

$b=3,a=5,c=7$

بدست میاد پس در کل جواب ها

$(a,b,c)=(2,2,2),(2,2,3),(2,6,11),(3,5,7)$

و جایگشتهاشون هستند.

---- دو نوشته به هم متصل شده است ----

nsg2000gh گفت

اگه فقط حدس بزنید نمره ای بهتون نمیدن باید ثابت کنید جواب دیگه ای وجود نداره.

nsg2000gh · 1394/4/21

پاسخ : .:imo 2015:.

خیلی ممنون خیلی زحمت کشیدید ولی من که گفتم نیازی نیست فکر کردم مربعه در غیر این صورت آسون بود ... متشکرم

.:imo 2015:.

حمید آنالیز

Well-Known Member

TheOverlord

New Member

حمید آنالیز

Well-Known Member

Dadgarnia

New Member

nsg2000gh

New Member

Dadgarnia

New Member

nsg2000gh

New Member

حمید آنالیز

Well-Known Member

nsg2000gh

New Member

Dadgarnia

New Member

nsg2000gh

New Member