iran tst

Dadgarnia · 1393/3/28

تمام توابع

$f:\mathbb{R}^+\rightarrow \mathbb{R}^+$

را بيابيد به طوريكه براي هر

$x,y\in \mathbb{R}^+$

داشته باشيم:

$f(\frac{y}{f(x+1)})+f(\frac{x+1}{xf(y)})=f(y)$

اين سوال خيلي خوبيه و پيشنهاد مي كنم كه حتما روش فكر كنيد.

math · 1393/3/31

پاسخ : iran tst

این سوال راحت و تقریبا تکراری بود ( برای TST زیاد خوب نبود ) .

من این جا یه سری سوال مشابه گذاشتم . ایده همشون یکیه : http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?p=3498567#p3498567

Dadgarnia · 1393/3/31

پاسخ : iran tst

math گفت

ميشه راه حلتون رو اينجا بنويسيد آخه راه من كه خيلي راحت نبود ولي تقريبا حرفتون رو قبول دارم.

AHZolfaghari · 1393/5/13

پاسخ : iran tst

این سوال رو تو سایت کمیته ریاضی هم بعنوان مساله روز قرار دادند که اونجا گذاشتم و اونجا درستی راه حلم تصدیق شد همچنین به اقای شریفی هم که گفتم درستی اش رو تایید کردند !!
فرض کنید برای یه y داشته باشیم

$yf(y)> 1$

پس یه x وجود داره که

$\frac{x+1}{xf(y)}=y$

پس

$f(\frac{x+1}{xf(y)}) = f(y)$

پس

$f(\frac{y}{f(x+1)})=0$

که تناقضه چون تابع از R مثبت هستش پس برای تمامی y ها داریم

$f(y)\leq \frac{1}{y}$

حالا تو رابطه اصلی نامساوی بدست اومده رو اعمال میکنیم بدین گونه :

$\frac{f(y)}{x+1}\leq \frac{f(x+1)}{y}$

pas

$f(y)\leq \frac{xf(y)}{x+1}+\frac{f(x+1)}{y}$

حالا y رو هم یه عدد بزرگتر از یک در نظر میگیریم x+1 رو هم برابر b میذاریم
پس دو نامساوی داریم الان :

$yf(y)\leq bf(b)$

$yf(y)\geq bf(b)$

پس

$yf(y)= bf(b)$

پس برای تمامی اعداد بزرگتر مساوی یک داریم

$xf(x)=K$

که با جایگذاری تو رابطه اصلی می فهمیم که

$K=1$

پس برای اعداد بزرگتر از یک داریم

$f(X)=\frac{1}{X}$

حالا x رو بین 1/2 و 1 در نظر میگیریم پس

$f(y) \leq 2$

پس میدانیم که دو عبارت

$2y , \frac{2}{f(y)}$

از یک بزرگتر هستند پس تابع f در این دو نقطه معکوسشون میشه
حالا x رو یک میدیم میشه :

$f(2y)+f(\frac{2}{f(y)})=f(y)$

$\frac{1}{2y}+\frac{f(y)}{2}=f(y)\rightarrow f(y)=\frac{1}{y}$

حالا x رو بین 1/3 و 1/2 در نظر میگیریم پس

$f(y)\leq 3$

و مجددا میدونیم

$3y , \frac{3}{2f(y)}$

به ترتیب بزرگتر از 1/2 و یک هستند پس میدونیم تابع f در این نقاط معکوسشون میشه حالا باز x رو میدیم 2 مثلا این بدست میاد :

$f(3y)+f(\frac{3}{2f(y)})=f(y)\rightarrow \frac{1}{3y}+\frac{2f(y)}{3}=f(y)\rightarrow f(y)=\frac{1}{y}$

پس برای بزرگتر از 1/3 ها هم داریم

$f(X)=\frac{1}{X}$

همین طور پیش میریم میشه این بازه رو بزرگتر کرد مثلا میتونید فرض کنید x از

$\frac{1}{n}$

بزرگتره و x رو بدیم n-1 و ادامه بدیم به این نتیجه می رسیم برای بزرگتر از

$\frac{1}{n}$

ها هم داریم

$f(X)=\frac{1}{X}$

البته مثلا فرض داریم که برای بزرگتر از

$\frac{1}{n-1}$

ها

$f(X)=\frac{1}{X}$

. همین جوری میریم جلو چون

$\frac{1}{x}$

به صفر نزدیک میشه پس برای تمامی اعداد مثبت داریم :

$f(X)=\frac{1}{X}$

iran tst

Dadgarnia

New Member

math

New Member

Dadgarnia

New Member

AHZolfaghari

Well-Known Member