k!+48=48(k+1)^m

rezashiri · 1389/6/25

معادله

$k!+48=48(k+1)^{m}$

را در مجموعه اعداد طبیعی حل کنید.

mousavi · 1389/6/26

راهنمایی:اول مرکب بودن 1+k رو رد کنید بعد از قضیه ویلسون استفاده کنید

mahdisaj · 1389/6/26

$48\mid k!\rightarrow k\geq 8$

$k!+48\equiv 0(mod k+1)\rightarrow k!+47\equiv k (mod k+1)$

اگر k+1 عددی اول نباشد داریم :

$47\equiv k(mod k+1)\rightarrow 47=(k+1)t+k$

که معادله ی بالا در مجموعی ی اعداد طبیعی برای k های برابر با 11 و 15 و 23 و 47 جواب دارد با جای گذاری هر کدام در معادله ی اصلی یعنی در

$k!+48=48(k+1)^{m}$

مشخص می شود که جوابی برای m وجود ندارد یعنی فرض اولیه غلط است پس k عددی اول است .

پس طبق قضیه ی ویلسون داریم :

$k!\equiv -1 (mod k+1)$

$-1+48\equiv 0(mod k+1)\rightarrow 47\equiv 0(mod k+1)\rightarrow k+1\mid 47$

چون 47 عددی اول است پس k+1=47 یا
k=46
حال باید معادله ی

$46!+48=48(47)^{m}$

را حل کنیم از طرفی بدیهی است که :

$47^{m}\equiv 1(mod 5)$

$47^{m}\equiv 1(mod 7)$

.
.
.

$47^{m}\equiv 1(mod 43)$

طبق قضیه ی با قیمانده ی چینی این دسگاه جواب دارد .
پس جواب های مسیله به صورت زیر می باشند :

$(k,m)=(46,log_{47}^{\frac{46!}{48}+1})$

نمی دونم اگه راهم غلطه لطفا بگید

rezashiri · 1389/6/26

این معادله جواب ندارد

تا قبل از باقیمانده چینی درسته ...

M_Sharifi · 1389/6/27

mahdisaj گفت

این هم نهشتی هایی که نوشتید چه ربطی به حل معادله داره؟

mahdisaj · 1389/6/27

M_Sharifi گفت

mahdisaj گفت

این هم نهشتی هایی که نوشتید چه ربطی به حل معادله داره؟

درسته حق با شماست الان که دارم بهش بهتر فکر می کنم می بینم که چرت نشنم