(p-1)!

AidinT · 1389/8/20

ثابت کنید اگر p عددی اول باشد داریم:

$(p-1)!^{p-1} - (p-1)! \overset{p^2}\equiv 2$

Aref · 1389/8/20

............

M_Sharifi · 1389/8/21

AidinT گفت

طبق قضیه ی ویلسون

$p\mid (p-1)!+1$

. بنابراین

[center:a3034af8e4]

$p^2\mid (p-1)!^p+1-\big((p-1)!+1\big)^2=(p-1)!\big((p-1)!^{p-1}-(p-1)!-2\big)$

[/center:a3034af8e4]

AidinT · 1389/8/21

M_Sharifi گفت

چرا؟؟؟؟؟

M_Sharifi · 1389/8/21

AidinT گفت

[center:43f8bb7d47]

$(p-1)!^p+1=(kp-1)^p+1\equiv -1+{p\choose1}kp+1\equiv0\pmod{p^2}$

[/center:43f8bb7d47]

AidinT · 1389/8/21

یه راه دیگه هم البته هست! استفاده از قضیه ویلسون و برابر قرار دادن

$(p-1)! = (pk-1)$

داریم:

$(pk-1)^{p-1} - (pk-1) \overset{p^2} \equiv -\binom{p-1}{1}pk + 1 - pk + 1 \overset{p^2} \equiv 2$