s^3=u^2+3v^2

M_Sharifi · 1390/2/16

سوال ششم (از amir.ekhlasi):
- فرض کنید u,v,s سه عدد صحیح ناصفر باشند به طوری که

$(u,v)=1$

و

$s^3=u^2+3v^2$

. ثابت کنید می توان دو عدد صحیح t,w با زوجیت متفاوت را طوری پیدا کرد که

$(t,w)=1$

و

$\left\{\begin{matrix} u=t(t^2-9w^2 )\\ v=3w(t^2-w^2 )\\ s=t^2+3w^2 \end{matrix}\right.$

mahanmath · 1390/2/16

پاسخ : s^3=u^2+3v^2

$\left\{\begin{matrix} u- \sqrt{-3} v = (a- \sqrt{-3}b)^3 & \\ u+ \sqrt{-3} v = (a+\sqrt{-3}b)^3 \end{matrix}\right.$

اگه ضرایب رو مقایسه کنیم همون چیزی که میخوایم بدست میاد .

alihadadian · 1390/2/16

پاسخ : s^3=u^2+3v^2

با جای گذاری درست میشه دیگه ؟؟؟
راه دیگه ای هم داره؟؟؟

M_Sharifi · 1390/2/17

پاسخ : s^3=u^2+3v^2

alihadadian گفت

جایگذاری که روش حل نیست. یه راه مقدماتی تر هم اینه که فرض کنید p عامل اولی از s هستش. بعد از تقابل درجه ی دوم نتیجه بگیرید

$p\equiv1\pmod3$

. حالا اگه s=pk، ثابت کنید اعداد m,n وجود دارند که

$k^3=m^2+3n^2$

و به صورت استقرایی نتیجه بگیرید s,u,v به فرم خواسته شده در مسئله اند.