x/(xy+1)+y/(yz+1)+z/(zx+1)>=3/2

M_Sharifi · 1389/1/11

یه سوال:
فرض کنید

$x,y,z>0$

و

$x+y+z=3$

. ثابت کنید

[center:ad6b1c0226]

$\frac x{xy+1}+\frac y{yz+1}+\frac z{zx+1}\geq\frac32$

[/center:ad6b1c0226]

Olympiad · 1389/1/11

طبق كوشي داريم‌ :

$\frac{x}{xy+1}+\frac{y}{yz+1}+\frac{z}{zx+1}=s\Rightarrow s(x(xy+1)+y(yz+1)+z(zx+1))\geq$

$(x+y+z)^2=9$

$s\geq \frac{9}{x^2y+y^2z+z^2x+x+y+z}=\frac{9}{x^2y+y^2z+z^2x+3}\Leftarrow$

و نيز طبق حسابي - هندسي ميدانيم :

$x^2y+y^2z+z^2x\geq 3xyz$

و همچنين بنا به حسابي هندسي و با توجه به اينكه

$x+y+z=3$

داريم :

$x+y+z\geq 3\sqrt[3]{xyz}\Rightarrow xyz\leq 1$

بنابراين داريم :

$x^2y+y^2z+z^2x\leq 3\Rightarrow \frac{9}{x^2y+y^2z+z^2x+3}\geq \frac{9}{6}=\frac{3}{2}$

و در نتيجه :

$s\geq \frac{3}{2}$

M_Sharifi · 1389/1/12

Olympiad گفت

درست نیست. چون این نابرابری جهت نابرابری قبل رو برعکس می کنه.

Olympiad · 1389/1/12

داريم:

$\left\{\begin{matrix}x^2y+y^2z+z^2x\geq 3xyz & \\ x+y+z\geq 3\sqrt[3]{xyz}\rightarrow xyz\leq 1 & \end{matrix}\right.\Rightarrow x^2y+y^2z+z^2x\leq 3$

بنابراين با استفاده از نتيجه ي بالا داريم :

$\frac{9}{x^2y+y^2z+z^2x+3}\geq \frac{9}{6}=\frac{3}{2}$

و در آخر

$s\geq \frac{3}{2}$

كجاش غلطه؟!!؟

M_Sharifi · 1389/1/12

Olympiad گفت

از اون دو تا نابرابری نمیشه نتیجه گرفت که

$x^2y+y^2z+z^2x\leq3$

.

mahanmath · 1389/1/12

Some hints , PLZ

Aref · 1389/1/12

می توانیم فرض کنیم که x>=y>=z
we can rearrange the inequality and then by CS we can solve it!
الآن حل کاملشو مینویسم

mahanmath · 1389/1/12

Aref گفت

I don`t think so !!!

cuz the inequlity is cyclic

M_Sharifi · 1389/1/12

mmath گفت

فعلا برای راهنمایی زوده. در ضمن لطف کنید از زبان فارسی استفاده کنید.

Aref · 1389/1/12

by rearrangement inequality:

by CS:

there is only left to prove that:

which is obvious!

M_Sharifi · 1389/1/12

Aref گفت

کاملا غلطه.

Aref · 1389/1/12

حالت های دیگر مشابه است!

Aref · 1389/1/12

چرا غلطه؟ برای فرض من درسته.
بقیه ی حالت ها هم به همین صورت درستن.
بگید کجاش غلطه؟

M_Sharifi · 1389/1/12

Aref گفت

جهت نابرابری جایگشتی رو اشتباه نوشتی.

Aref · 1389/1/12

با عرض پوزش اشتباه از منه!

Olympiad · 1389/1/13

راهنمايي نمي كنيد آقاي شريفي ؟!!؟

M_Sharifi · 1389/1/13

Olympiad گفت

حلش کوتاهه. ولی توی حلش از یه نابرابری قوی استفاده میشه که باید قبلا دیده باشید تا بتونید این سوال رو حل کنید.

Olympiad · 1389/1/14

آقاي شريفي فكر كنم وقت حل مسئله تموم شده باشه!!! لطفا حل كنيد.

M_Sharifi · 1389/1/14

داریم

[center:01854d872c]

$\sum\frac x{xy+1}\geq\frac32\iff\sum\left(x-\frac x{xy+1}\right)\leq\frac32\iff\sum\frac {x^2y}{xy+1}\leq\frac32$

[/center:01854d872c]از طرفی
[center:01854d872c]

$\sum\frac{x^2y}{xy+1}\leq\sum\frac{x^2y}{2\sqrt{xy}}=\frac12\sum\sqrt{x^3y}$

بنابراین کافی است ثابت کنیم

$\sum\sqrt{x^3y}\leq3$

و یا به صورت معادل،

$\sum\sqrt{x^3y}\leq\frac13(x+y+z)^2$

. این نابرابری نیز همان نابرابری قوی و معروف

$(a^2+b^2+c^2)^2\geq3(a^3b+b^3c+c^3a)$

است که البته اثباتش چندان راحت نیست.

[/center:01854d872c]

mahanmath · 1389/1/14

M_Sharifi گفت

Salam , bebakhshid fingilish type mikonam

Man be namosavie akhar residam va khodam ro koshtam

ta esbatesh konam dar sooraty ke in nabarabarie maroofe

Vasile hast

ke halat tasavi haye ajib gharibi dare va az hame badtar in ke man ino dide boodamo yadam rafte

bood !!

kheily mamnoon.

x/(xy+1)+y/(yz+1)+z/(zx+1)>=3/2

راهبر ریاضی

New Member

راهبر ریاضی

New Member

راهبر ریاضی

New Member

New Member

New Member

راهبر ریاضی

New Member

راهبر ریاضی

New Member

New Member

راهبر ریاضی

New Member

New Member

راهبر ریاضی

New Member

راهبر ریاضی

New Member