اتحاد های جبری

[Wight]

سلام دوتا سوال (به نسبت) خوب داشتم:

1.ثابت کنید چند جمله ای مانند ax^3+bx^2+cx+d با ضرایب صحیح وجود ندارند به طوری که حاصل آن به ازای x=19 برابر واحد و به ازای x= 62 برابر 2 باشد.
2.آیا چند جمله ای های R , P , Q با متغیر های x,y,z وجود دارند به طوری که اتحاد زیر برقرار باشد:
(x-y+1)^3*P+(y-z-1)^3*Q+(z-x2+1)^3*R=1

 

[Wight]

پاسخ : اتحاد های جبری

سلام دوتا سوال (به نسبت) خوب داشتم:

1.ثابت کنید چند جمله ای مانند ax^3+bx^2+cx+d با ضرایب صحیح وجود ندارند به طوری که حاصل آن به ازای x=19 برابر واحد و به ازای x= 62 برابر 2 باشد.
2.آیا چند جمله ای های R , P , Q با متغیر های x,y,z وجود دارند به طوری که اتحاد زیر برقرار باشد:
(x-y+1)^3*P+(y-z-1)^3*Q+(z-x2+1)^3*R=1

آیا کسی نیست مرا یاری کند؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟

 

[math]

پاسخ : اتحاد های جبری

برای سوال اول از این نکته استفاده کنید که بای هر چند جمله ای با ضرایب صحیح داریم :

برای سوال دوم هم لطفا با Online LaTeX Equation Editor - create, integrate and download بنویسید نمیشه خوندش :53:

 

[Wight]

پاسخ : اتحاد های جبری

برای سوال اول از این نکته استفاده کنید که بای هر چند جمله ای با ضرایب صحیح داریم :

برای سوال دوم هم لطفا با Online LaTeX Equation Editor - create, integrate and download بنویسید نمیشه خوندش :53:

درود بر شما!


می شه (خـــــیلی) بیشتر توضیح بدهید!


http://latex.codecogs.com/gif.latex?(x-y+1)^3*P+(y-z-1)^3*Q+(z-2*x+1)^3*R=1

 

[Wight]

پاسخ : اتحاد های جبری

المپیادیا چی شد؟

 

[Aria Keshtkar]

پاسخ : اتحاد های جبری

ضمن تایید گفته ی mathh پاسخ این گونه است:
با جایگذاری x=19 و x=62 در معادله ی ax^3+bx^2+cx+d و در نظر گرفتن پاسخ های 1 و 2 داریم:
1) a(62^3)+b(62^2)+c(62^1)+d=2
2) a(19^3)+b(19^2)+c(19^1)+d=1
با تفریق روابط فوق داریم:
***a(62^3-19^3)+b(62^2-19^2)+c(62^1-19^1)=1
***a(62-19)(62^2+19^2+62*19)+b(62-19)(62+19)+c(62-19)=1
***43(a(62^2+19^2+62*19)+b(81)+c)=1
از آنجایی که سمت چپ برابری مقابل بر 43 بخش پذیر است اما سمت راست آن این گونه نیست لذا چنین اعدادی با ضرایب صحیح وجود ندارند.
پاسخ پرسش دوم:
از آنجایی که اتحاد یک برابری(تساوی) همواره صحیح است لذا با یافتن یک مثال نقض رد می شود که در پرسش مذکور داریم:
***P(x-y+1)^3+Q(y-z-1)^3+R(z-2x+1)^3=1
اگر همه ی ضرایب برابر با 0 شوند، مثال نقض ما جهت وجود چنین چند جمله ای هایی ثابت می شود که داریم:
***(x-y+1)^3=0 , (y-z-1)^3=0 , (z-2x+1)^3=0
***x-y+1=0 , y-z-1=0 , z-2x+1=0
معادله ی آخر به ازای x=z=1 و y=2 برقرار است لذا چنین چند جمله ای هایی با شرط برقراری اتحاد مزبور وجود ندارند.