چند سوال چند جمله ای آسون

Mostafa_ · 1392/4/14

سلام

من با توجه به اینکه تازه شروع کردم جبرو و مخصوصا چند جمله ای رو به یه سری مشکلات خوردم اگه دوستان کمک کنند ممنون میشم...

1.همون طور که می دونید توی چند جمله ای

$P(x)=ax^2+bx+c$

اگر

$a>0$

باشه سهمی کف داره و اگر

$a<0$

سهمی راس داره... حالا سوال من اینه که این که می گن راس سهمی

$-\frac{b}{2a}$

هست از کجا اومده؟؟ (یکی میشه اثباتش کنه؟)

2. اثبات اینکه سهمی با

$a>0$

حتما کف داره چیه؟ شاید یه سهمی باشه و

$a>0$

بزرگتر از صفر هم باشه اما کف نداشته باشه؟ (میدونم نیست ولی اثباتشو می خوام)

من چند جا دیدم که اگر

$x_{1}$

و

$x_{2}$

ریشه های چند جمله ای

$P(x)=ax^2+bx+c$

باشند اونوقت داریم:

$ax^2 + bx +c = a (x-x_{1})(x-x_{2})$

اینو یکی میشه برام اثبات کنه؟

یا کلا در حالت کلی:

اگر

$x_{1}$

و

$x_{2}$

و ... و

$x_{n}$

ریشه های

$a_{n}x^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_{2}x^2+a_{1}x+a_{0}$

باشه انوقت داریم:

$a_{n}x^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_{2}x^2+a_{1}x+a_{0} = a(x-x_{1})(x-x_{2})...(x-x_{n})$

اینو میشه یکی اثبات کنه؟ (اصلا دلیل وجود a چیه قبل از پرانتز؟)

ببخشید سوال ها ممکنه یکم بدیهی باشن یا خیلی آسون ولی خوب من بلد نیستم دیگه

Mostafa_ · 1392/4/15

پاسخ : چند سوال چند جمله ای آسون

یکی کمک کنه لطفا

amin278 · 1392/4/15

پاسخ : چند سوال چند جمله ای آسون

MosiSA گفت

سلام

من با توجه به اینکه تازه شروع کردم جبرو و مخصوصا چند جمله ای رو به یه سری مشکلات خوردم اگه دوستان کمک کنند ممنون میشم...

1.همون طور که می دونید توی چند جمله ای

$P(x)=ax^2+bx+c$

اگر

$a>0$

باشه سهمی کف داره و اگر

$a<0$

سهمی راس داره... حالا سوال من اینه که این که می گن راس سهمی

$-\frac{b}{2a}$

هست از کجا اومده؟؟ (یکی میشه اثباتش کنه؟)

حل سوال اول:

$ax^{2}+bx+c=a(x^{2}+\frac{bx+c}{a})\Rightarrow a((x+\frac{b}{2a})^{2}+\frac{4ac-b^{2}}{4a})\Rightarrow x+\frac{b}{2a}=0\rightarrow x=(2a)^{-1}(b)$

Mostafa_ · 1392/4/15

پاسخ : چند سوال چند جمله ای آسون

amin278 گفت

این تیکه آخرش چی شد؟؟

از کجا نتیجه شد که

$x+\frac{b}{2a}=0$

Mostafa_ · 1392/4/16

پاسخ : چند سوال چند جمله ای آسون

بقیشو کسی نمی تونه کمکی کنه؟

Al!R3ZA · 1392/4/16

پاسخ : چند سوال چند جمله ای آسون

amin278 گفت

نخیر

این حرف شما زمانیه که راس سهمی مماس به محور ایکس ها باشه.
راس سهمی برابر میانگین مجموع دوتا ریشه است !

moghini · 1392/4/16

پاسخ : چند سوال چند جمله ای آسون

به طور کلی دو روش برای اثبات مختصات طول راس سهمی هست.
روش اول استفاده از روابط جبری:

$ax^{2}+bx+c=0\Rightarrow x^{2}+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0$

به طرف اول مجذور نصف ضریب x (

$\frac{b^{2}}{4a^{2}}$

) را افزوده و سپس کم میکنیم

$y=ax^{2}+bx+c=0\Rightarrow \frac{y}{a}=x^{2}+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0\Rightarrow x^{2}+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}+\frac{b^{2}}{4a^{2}}-\frac{b^{2}}{4a^{2}} =0\Rightarrow (x+\frac{b}{2a})^{2}+\frac{-\bigtriangleup }{4a^{2}}\Rightarrow y=a(x+\frac{b}{2a})^{2}+\frac{-\Delta }{4a}$

چون معادله ی سهمی در حالت کلی به صورت

$y=a(x-x_{0})+b$

هست که در اون

$x_{0}$

مختصات راس سهمی هست ،مختصات طول سهمی بدست میاد.

روش 2 هم مشتق گیری هست.کافی هست مشتق عبارت رو برابر صفر قرار داده و X رو محاسبه کنید

amin278 · 1392/4/28

پاسخ : چند سوال چند جمله ای آسون

$a((x-x_{1})(x-x_{2}))=a(x^{2}-x(x_{1}+x_{2})+x_{1}x_{2}\Rightarrow a(x^{2}-x(\frac{-b}{a})+\frac{b^{2}-\Delta }{4a^{2}})\Rightarrow ax^{2}-ax(\frac{-b}{a})+a(\frac{b^{2}-\Delta }{4a^{2}})=ax^{2}+bx+c$

sbsani · 1392/4/28

پاسخ : چند سوال چند جمله ای آسون

MosiSA گفت

1.مشتق اول مساوی صفر
2.تعیین علامت مشتق دوم
3.الگوریتم تقسیم
میگیم که این چند جمله ای بر هر ایکس منهای یکی از ریشه هاش بخش پذیره(چون صفرش میکنه)پس بر ضربشونم بخش پذیره(اسم ضربشون رو میزارم مثلا Z)
حالا الگوریتم تقسیم هست:
چند جمله ای اصلی=Z ضرب در خارج قسمت به علاوه ی باقی مانده
حالا باید خارج قسمت و باقیمانده رو تعیین کنیم
باقی مانده و خارج قسمت حتما عددن چون چند جمله ای درجه n هست و Z هم درجه n
جای x یه ریشه ی دلخواه رو تو معادله قرار میدیم
Z و چند جمله ای صفر میشن و معادله میشه:
صفر=صفر به علاوه ی باقی مانده
پس باقیمانده هم صفره
پس معادله شد:
چند جمله ای=Z ضرب در خارج قسمت
حالا خارج قسمت
در Z اگه پرانتزا در هم ضرب شن ضریب x به توان n یک هست اما در چند جمله ای ضریب x به توان n ، آ (a)هستش(a ضریب بالاترین توان x هست که اینجا آ n اسمشه)
پس خارج قسمت هم که فقط یه عدده مساویه a هست
پس معادله میشه:
چند جمله ای=a*Z
که همونیه که نوشتی

من این راه به نظرم رسید.حالا شاید راهای بهتری هم باشه!

sbsani · 1392/4/29

پاسخ : چند سوال چند جمله ای آسون

MosiSA گفت

روابط ویت چیه؟همونی که من نوشتمه؟

Mostafa_ · 1392/4/30

پاسخ : چند سوال چند جمله ای آسون

sbsani گفت

روابط بین ریشه هاست

... فقط چند تا نکته..... من سنم به مشتق قد نمیده هنوز

سوال یک رو یکی از دوستان گفتن من فهمیدم این سوال 3 رو فهمیدم ... اما سوال 2.... منظورم اینه که اگر a از صفر بزرگتر باشه چرا سهمی کف داره و سقف نداره (منظورم اینه شاید ضرایب یه جوری باشه که با وجود این که a در معادله از صفر بزرگتره سهمی سقف داره و نه کف) اثباتش چیه؟ بدون مشتق اثبات نداره؟ اگه میشه یه جور ساده اثبات کنید

چند سوال چند جمله ای آسون

Mostafa_

New Member

Mostafa_

New Member

amin278

New Member

Mostafa_

New Member

Mostafa_

New Member

Al!R3ZA

Well-Known Member

moghini

New Member

amin278

New Member

sbsani

New Member

sbsani

New Member

Mostafa_

New Member