.::ماراتن 4 درس ::.

mahanmath · 1392/5/14

پاسخ : .::ماراتن 4 درس ::.

math گفت

خیلی خنگ تر شدم از قدیم، این رابطه چرا درسته ؟ :181: اگه سمت راست توان 2 نداشت شاید درست میشد :-/

nima1376 · 1392/5/15

پاسخ : .::ماراتن 4 درس ::.

من نتونستم راه حلی به جز ینسن پیدا کنم پس سوال جدید قرار میدم

همگی مثبت اند.
نشان دهید

math · 1392/5/15

پاسخ : .::ماراتن 4 درس ::.

mahanmath گفت

شما استادید استاد :d

بله من اشتباه نوشتم برابر میشود با مشتق اون

math · 1392/5/16

پاسخ : .::ماراتن 4 درس ::.

سوال جبر سطح 2 :

ثابت کنید چند جمله ایی وجود ندارد که :

${P}'(x)\geq {P}''(x)\: \: \: \: \: ,\: \: \: P(x)\geq {P}''(x)$

math · 1392/5/17

پاسخ : .::ماراتن 4 درس ::.

کسی نظری نداره در باره سوال ها ؟

msaeids · 1392/5/20

پاسخ : .::ماراتن 4 درس ::.

math گفت

من فکر میکنم یه اشتباهی کردم
فرض کنید

$r_{1}\leq r^{'} _{1}\leq r_{2}\leq ...\leq r^{'} _{n-1}\leq r_{n}$

که

$r_{i},r^{'} _{i}$

ریشه های

$P,P^'$

طبق فرض داریم:

$\frac{P^{'}(x)}{P^{''}(x)}=\sum \frac{1}{x-r^{'} _{i}}\geq 1,\frac{P(x)}{P^{''}(x)}=\frac{\sum \frac{1}{x-r _{i}}}{\sum \frac{1}{x-r^{'} _{i}}}\geq 1$

که به وضوح رابطه ی سمت چپ با فرضی که در ابتدا کردیم متناقض است
(کافیه که x رو برابر صفر قرار بدید)

math · 1392/5/20

پاسخ : .::ماراتن 4 درس ::.

msaeids گفت

نه شما فرض کردید که تمام ریشه ها حقیقی اند که ممکنه نباشند

msaeids · 1392/5/20

پاسخ : .::ماراتن 4 درس ::.

لطفا یکی سوال های ماراتن رو بذاره
من در خواست دارم جناب math جواب سطح دو نظریه رو بذارند
من یه راهنمایی برای ترکیبیات سطح دو میکنم
دقت کنید که تعداد خونه های سفید از تعداد جدول های دو در دو بیشتر است

mahanmath · 1392/5/20

پاسخ : .::ماراتن 4 درس ::.

math گفت

این راه باید جوب داشته باشه :205:

$Q(x)=P(x)-P'(x) \\ \Rightarrow \\ Q'(x) \geq 0 \; \; ,\; \; Q(x) \geq - Q'(x)$

شرط اول نشون میده درجه ی Q فرد هست که مشتقش درجه ی زوج هست. شرط دوم هم نشون میده Q درجش زوج هست که Q'+Q همیشه مثبت مونده. تناقض :217:

math · 1392/5/21

پاسخ : .::ماراتن 4 درس ::.

من یک سوال دیگه ای در قسمت جبر سطح دو میگذارم

در باره سوال سطح دو نطریه اعداد سوال فوق العاده زیبا و اموزنده ایست من تا هفته ی دیگه صبر میکنم

سوال جبر سطح دو :

$f:\mathbb{N}\to \mathbb{N}$

تابعي يك به يك و پوشاست .آيا عدد هاي طبيعي

$a_1,a_2,...,a_{2012}$

وجود دارند كه تشكيل تصاعد حسابي با قدر نسبت مثبت دهند و

$f(a_1)< f(a_2)< ...< f(a_{2012})$

ash1374 · 1392/5/22

پاسخ : .::ماراتن 4 درس ::.

راهنمایی برای سوالات هندسه و اعداد:

هندسه 1 : حکم مسئله رو به این شکل تغییر بدین: نقطه ی m روی دایره به قطر bc است. از h موازی cm و bm میکشیم تا در fوe اضلاع رو قطع کنه. کافیه ثابت کنیم e,f,m همخط اند. این رو هم از تشابه مثلث های cqh و bet نتیجه بگیرید که qوt به ترتیب برخورد cm و hf و برخورد bm و eh هستند.

هندسه 2 : d و e به ترتیب تماس دایره محاطی داخلی و خارجی با bc هستند. h وسط xy هست. از تشابه mea و ihd استفاده کنید.

اعداد 1 : برهان خلف بزنید.عوامل اول رو p1 تا p[SUB]k[/SUB] در نظر بگیرید. n رو خیلی زیاد کنید. k+1 تا عدد طبیعی متوالی خیلی بزرگ به جای n قرار بدید و به تناقض برسید.

اعداد 2 : برهان خلف. اگر شرط برقرار باشه یعنی یک تقریب گویا مثل

$\frac{x}{y}$

برای

$\sqrt{2}$

داریم با دقت

$\frac{1}{y^{3}}$

که تا یک میلیون رقم با رادیکال دو یکیه. حالا دقت کنید رادیکال دو ریشه ی

$f(x)=x^{2}-2$

هستش. حالا دقت کنید:

$f'(\sqrt{2})=\lim \frac{f(q)-f(\sqrt{2})}{q-\sqrt{2}}$

طوری که

$q\rightarrow \sqrt{2}$

. حالا q رو برابر x/y که قرار بدید

$f'(\sqrt{2})$

و

$\frac{f(\frac{x}{y})-f(\sqrt{2})}{\frac{x}{y}-\sqrt{2}}$

خیلی به هم نزدیک میشن( برای نزدیکی کران بدید) و با توجه به اینکه

$f'(\sqrt{2})=2\sqrt{2}$

و

$f(\sqrt{2})=0$

و

$\sqrt{2}-\frac{x}{y}<\frac{1}{y^{3}}$

از این نزدیکی به تناقض برسید.

AHZolfaghari · 1393/11/20

پاسخ : .::ماراتن 4 درس ::.

خب اگه رفقا ، کمک کنند این تاپیک رو مجددا احیا کنیم .
به همین دلیل من 4 سوال میذارم .

هندسه :

در مثلث abc نیمساز زاویه b ضلع ac را در p قطع میکنه و i مرکز دایره محاطی abc است . اگر داشته باشیم ap + ab = bc . آنگاه ثابت کنید که api متساوی الساقین است .

ترکیبیات :

دنباله صعودی شامل اعداد 1و3و4و9و... دنباله ای است که هریک از اعضای آن یا توانی از سه اند یا مجموع تعدادی از توان های سه اند . صدمین جمله این دنباله را بیابید .

جبر :

کلیه توابع f از اعداد حقیقی به خودش را بیابید که برای هر x,y حقیقی داشته باشیم :

$f(x+xy+f(y))=(f(x)+\frac{1}{2})(f(y)+\frac{1}{2})$

نظریه اعداد :

تمام اعداد اول p,q را بیابید که

$p^2 \vert q^3 + 1 , q^2 \vert p^6 - 1$

amirxxx41 · 1393/11/20

پاسخ : .::ماراتن 4 درس ::.

AHZolfaghari گفت

سلام
جواب سوال نظریه 2و3 یا 2و7 می شه فقط ؟
اگه آره من اثباتو بزارم

---- دو نوشته به هم متصل شده است ----

منم یه سوال که به نظرم جالبه رو می زارم (سوال یکی از المپیاد هاست)
ثابت کنید به ازای هر عدد طبیعی مانند n

$\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}2^{k}\binom{n-k}{\left \lfloor\frac{n-k}{2}\right \rfloor}=\binom{2n+1}{n}$

Dadgarnia · 1393/11/21

پاسخ : .::ماراتن 4 درس ::.

AHZolfaghari گفت

فرض کنید رابطه ی بالا

$P(x,y)$

باشه. داریم:

$P(x,-1)\rightarrow f(f(-1))=(f(x)+\frac{1}{2})(f(-1)+\frac{1}{2})$

اگه

$f(-1)\neq -\frac{1}{2}$

با توجه به رابطه ی بالا f ثابته ولی واضحه که تابع ثابت توی رابطه ی اصلی سوال صدق نمی کنه پس

$f(-1)=-\frac{1}{2}$

که از اینجا هم بدست میاد

$f(-\frac{1}{2})=0$

. حالا اگه برای

$a\neq -1$

داشته باشیم

$f(a)=-\frac{1}{2}$

می تونیم بدست بیاریم:

$P(x,a)\rightarrow f(x+ax-\frac{1}{2})=0$

از اونجایی که

$x+ax-\frac{1}{2}$

روی

$\Bbb{R}$

پوشاست نتیجه می گیریم

$f\equiv 0$

که تناقضه پس تنها برای 1- داریم

$f(x)=-\frac{1}{2}$

. از طرف دیگه دقت کنید که

$P(0,-\frac{1}{2})\rightarrow f(0)=\frac{1}{2}$

با توجه به روابط بدست اومده داریم:

$P(x-\frac{1}{2},0)\rightarrow f(x-\frac{1}{2})=f(x)-\frac{1}{2}$

$\Rightarrow P(-1,x)\rightarrow -\frac{1}{2}=f(f(x)-x-1)-\frac{1}{2}=f(f(x)-x-\frac{3}{2})$

$\Rightarrow f(x)-x-\frac{3}{2}=-1\Rightarrow f(x)=x+\frac{1}{2}$

پس تنها جواب سوال بدست میاد که توی روابط داده شده هم صدق می کنه.

---- دو نوشته به هم متصل شده است ----

amirxxx41 گفت

دوست عزیز اینجا ماراتنه لطفا حل کاملتونو بذارین اگه درست بود بعدش سوال بذارین. البته الان سوال تركيبيات موجود سواليه كه شما گذاشتين!

---- دو نوشته به هم متصل شده است ----

جبر:
اعداد حقیقی و مثبت

$r,s$

در تساوی

$(r+s-rs)(r+s+rs)=rs$

صدق می کنند. حداقل مقدار

$r+s-rs$

و

$r+s+rs$

را بدست آورید.

---- دو نوشته به هم متصل شده است ----

تركيبيات:
ابتدا دقت كنيد كه اگه داشته باشيم

$3^{\alpha_1}+3^{\alpha_2}+\cdots +3^{\alpha_k}=3^{\beta_1}+3^{\beta_2}+\cdots+3^{\beta_l}$

و

$\alpha_i,\beta_i$

ها دو به دو متمايز باشند هيچ كدام از

$\alpha_i,\beta_i$

ها نمي تونند برابر با صفر باشند چون يه طرف بر سه بخشپذيره ولي طرف ديگه اينطور نيست. حالا فرض كنيد

$\alpha_1\neq 0$

كوچكترين متغير باشه پس بدست مياد:

$1+3^{\alpha_2-\alpha_1}+\cdots +3^{\alpha_k-\alpha_1}=3^{\beta_1-\alpha_1}+3^{\beta_2-\alpha_1}+\cdots+3^{\beta_l-\alpha_1}$

پس مثل قبل به تناقض مي رسيم. با توجه به چيزي كه ثابت شد حالا واضحه كه تعداد اعدادي كه با استفاده از اعداد

$1,3,\cdots ,3^n$

ميشه ساخت برابره با

$\binom{n+1}{1}+\binom{n+1}{2}+\cdots +\binom{n+1}{n+1}=2^{n+1}-1$

پس

$2^n$

مين عدد برابره با

$3^n$

. از اينجا نتيجه مي گيريم كه 64مين عدد 729 هست. حالا اگه اعدادي كه با استفاده از اعداد

$1,3,\cdots,3^5$

ساخته مي شن رو به ترتيب صعودي مرتب كنيم براي بدست آوردن صدمين عدد كافيه كه 36مين عدد توي اين دنباله رو با 729 جمع كنيم. مي دونيم كه عدد 32ام برابره با 243 كه نتيجه ميده عدد 36ام برابره با

$243+9=252$

از اينجا هم نتيجه مي گيريم كه صدمين عدد برابره با

$729+252=981$

.

REZA 73 · 1393/11/21

پاسخ : .::ماراتن 4 درس ::.

AHZolfaghari گفت

راه حل سوال هندسه: با توجه به شرط مساله و نوشتن قانون سینوس ها به راحتی داریم:

$\frac{AP}{AB}+1=\frac{BC}{AB}\Rightarrow \frac{sin\frac{B}{2}}{sin(\frac{B}{2}+C)}+1=\frac{sinA}{sinC}$

$\Rightarrow sin\frac{B}{2}sinC=sin(\frac{B}{2}+C)(sin(B+C)-sinC)=2sin(\frac{B}{2}+C)cos(\frac{B}{2}+C)sin\frac{B}{2}$

$\Rightarrow sinC=sin(B+2C)\rightarrow C+B+2C=180\Rightarrow A=2C$

حالا به راحتي حكم نتيجه ميشه چون که :

$AIP=\frac{A+B}{2},IAP=\frac{A}{2}\Rightarrow API=180-\frac{A}{2}-\frac{A+B}{2}=\frac{B}{2}+C=AIP$

aras2213 · 1393/11/21

پاسخ : .::ماراتن 4 درس ::.

AHZolfaghari گفت

از a بر bi عمود كنيد تا bc رو در *a قطع كنه،چون b,i روى عمود منصف *aa هستن پس p هم هست.پس pa=a*p از طرفى طبق فرض مساله ap=a*c=a*p.حالا از برابرى دو زاويه مثلث متساوى الساقين a*pc حكم مساله نتيجه ميشه.

Dadgarnia · 1393/11/21

پاسخ : .::ماراتن 4 درس ::.

هندسه:
در مثلث قائم الزاويه ABC (

$\angle C=90^{\circ}$

)

$A_0,B_0$

به ترتيب محل تماس دايره ي محاطي داخلي با اضلاع

$BC,AC$

هستند. اگر I مركز دايره محاطي داخلي باشد محل برخورد عمودهايي كه از نقاط

$A_0,B_0$

به ترتيب بر

$AI,BI$

وارد مي شوند را P مي ناميم. ثابت كنيد PC بر AB عمود است.

Dadgarnia · 1393/11/22

پاسخ : .::ماراتن 4 درس ::.

نظريه اعداد:
ابتدا حالت هايي رو كه يكي از

$p,q$

برابر با دو يا سه باشند رو بررسي مي كنيم كه جواب هاي

$(p,q)=(2,3),(3,2)$

بدست مياد. حالا فرض مي كنيم

$p,q>3$

. حالا با توجه به شرطي كه گذاشتيم

$q^2|p^3-1$

يا

$q^2|p^3+1$

حالا دقت كنيد كه اگه

$p^2|q+1$

بدست مياد:

$q\geq p^2-1,q^2\leq p^3\pm 1\Rightarrow p^4-2p^2+1\leq p^3\pm 1$

نامساوي بالا به ازاي

$p>2$

غلطه به طور مشابه حالت هاي

$q^2|p\pm 1$

رد مي شوند پس

$p^2|q^2-q+1$

و

$q^2|p^2+p+1$

يا

$q^2|p^2-p+1$

. ابتدا حالت اول رو بررسي مي كنيم. در اين حالت داريم:

$q^2\leq p^2+p+1<(p+1)^2\Rightarrow q\leq p\Rightarrow q^2\leq p^2\leq q^2-q+1\Rightarrow q\leq 1$

كه تناقضه. توي حالت دوم داريم:

$p^2\leq q^2-q+1,q^2\leq p^2-p+1\Rightarrow p^2+q^2\leq p^2+q^2-p-q+2\Rightarrow p+q\leq 2$

كه اين هم تناقضه. پس جواب هاي مسئله

$(p,q)=(2,3),(3,2)$

هستند.

---- دو نوشته به هم متصل شده است ----

سوال هاي موجود:

هندسه:

در مثلث قائم الزاويه ABC (

$\angle C=90^{\circ}$

)

$A_0,B_0$

به ترتيب محل تماس دايره ي محاطي داخلي با اضلاع

$BC,AC$

هستند. اگر I مركز دايره محاطي داخلي باشد محل برخورد عمودهايي كه از نقاط

$A_0,B_0$

به ترتيب بر

$AI,BI$

وارد مي شوند را P مي ناميم. ثابت كنيد PC بر AB عمود است.

تركيبيات:

ثابت كنيد به ازاي هر عدد طبيعي مانند n

$\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}2^k\binom{n-k}{\left \lfloor \frac{n-k}{2} \right \rfloor}=\binom{2n+1}{n}$

جبر:

اعداد حقيقي و مثبت

$r,s$

در رابطه ي

$(r+s-rs)(r+s+rs)=rs$

صدق مي كنند. حداقل مقدار

$r+s-rs$

و

$r+s+rs$

را بدست آوريد.

نظريه اعداد:

همه ي اعداد

$m,n\in \Bbb{N}$

و عدد اول

$p\geq 5$

را بيابيد كه

$m(4m^2+m+12)=3(p^n-1)$

mahdi math · 1393/11/22

پاسخ : .::ماراتن 4 درس ::.

ممنون از شما که دوباره جان تازه در تاپیک دمیدید اگه سوالای بعدی رو بذارید ممنون میشم:103:

AHZolfaghari · 1393/11/22

پاسخ : .::ماراتن 4 درس ::.

Dadgarnia گفت

برای سوال هندسه تون :
تو مثلث

$A_0B_0P$

. قضیه سینوس ها می نویسیم .

$\frac{A_0B_0}{sin 45}=\frac{PA_0}{sin 90-\frac{A}{2}}$

$A_0B_0=\sqrt{2}CA_0$

پس :

$2CA_0.cos \frac{A}{2}=PA_0$

اگه زاویه

$A_0PC$

رو برابر با

$\beta$

, نصف زاویه A رو هم بگیریم

$\alpha$

براحتی داریم :

$\frac{sin \beta }{sin \alpha +\beta }=\frac{1}{2cos \alpha }$

$2cos\alpha sin\beta =cos\alpha sin\beta +cos \beta sin\alpha$

پس

$sin\alpha cos\beta =sin\beta cos\alpha$

,

$tg \alpha = tg \beta \rightarrow \alpha =\beta$

پس اگه محل برخورد PC رو با BC بگیریم H . داریم که BHC دو آلفا و میدونیم که B هم متمم دو آلفا است پس H میشه 90 پس PC عمود بر BC است

.::ماراتن 4 درس ::.

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

Well-Known Member

Active Member

New Member

Active Member

New Member

New Member

New Member

New Member

Well-Known Member