معادله

MiMi1376 · 1392/6/13

تمام پاسخ های صحیح معادله

$y=2x^2 +5xy +3y^2$

را بیابید

bh.pouya · 1392/6/14

پاسخ : معادله

من برای این سوال راه حلی پیدا کردم ولی به نظرم راه حلم خیلی دراز و خسته کنندست و شایدم راه حل حای بهتری دارد ولی به هر حال من راه خودمو مینویسم:

$3y^2 + (5x-1)y+2x^2=0$

$\Rightarrow y=(1-5x\pm \sqrt{x^2-10x+1})/6$

پس باید عبارت داخل رادیکال مربع کامل باشد .

$x^2-10x+1-k^2=0 \Rightarrow x=5\pm \sqrt{100-4+4k^2}/2$

حال دوباره عبارت داخل رادیکال باید مربع کامل باشد:

$\sqrt{100-4+4k^2}/2=\sqrt{24+k^2} \Rightarrow 24+k^2=l^2\Rightarrow (l-k)(l+k)=24$

حال با توجه به صحیح بودن k , l , l-k ,l+k و تجزیه 24درحالت 2*12=24 نتیجه میشود:

$l=\pm 7$

که آنگاه x=-2 یا x=12 که با جایگذاری در معادله

$\Rightarrow y=(1-5x\pm \sqrt{x^2-10x+1})/6$

و بررسی حالات ممکن میبینیم جواب های

$(-2,1) , (12,-9)$

در معادله صدق میکند .
حال اگر حالت 6*4=24 را در نظر بگیریم نتیجه میشود:

$l=\pm 5$

از اینجا نیز جواب های

$(0,0) , (10,-8)$

به دست می آید.