ماراتن نظریه ی اعداد (سطح ممتاز)

Dadgarnia · 1393/9/14

پاسخ : ماراتن نظریه ی اعداد (سطح ممتاز)

aras2213 گفت

اين سوال دومي كه گذاشتين رو من حل كردم:
اگه دو طرف رو به پيمانه ي 4 در نظر بگيريم به راحتي مي تونيم بدست بياريم

$x\equiv 1\pmod 2,y\equiv 0\pmod 2,z\equiv 1\pmod 2$

حالا دقت كنيد كه

$y$

نمي تونه به شكل

$4k+2$

باشه چون در اين حالت داريم:

$z^2+4=(x^2-y)(x^2+y),x^2-y\equiv 3\pmod 4$

پس

$x^2-y$

يه عامل اول مثل p داره كه به شكل

$4k+3$

هست كه اين نتيجه ميده:

$p|z^2+4\Rightarrow p|2$

كه تناقضه پس

$y$

به شكل

$4k$

هست كه در اين صورت داريم:

$x^4\equiv 1\equiv y^2+z^2+4\equiv 5\pmod 8$

كه تناقضه. پس معادله جواب صحيح نداره.

---- دو نوشته به هم متصل شده است ----

سوال بعد:
تمام اعداد طبيعي

$x,y,z$

را بيابيد به طوريكه داشته باشيم

$x^3=3^y7^z+8$

math1998 · 1393/9/14

پاسخ : ماراتن نظریه ی اعداد (سطح ممتاز)

Dadgarnia گفت

$(x-2)(x^2+2x+4)=3^y7^z,s+t=y,n+m=z$

$1)3^t\mid x^2+2x+4,3^s\mid x-2,t\geq s\Rightarrow 3^s\mid 4(x+1)\Rightarrow 3^s\mid x+1,3^s\mid x-2$

$\Rightarrow s=0,s=1$

با نوشتن همین کارا واسه

$7^z$

و حالت بندی تمام جوابا بدست میاد حال ندارم بنویسم اگه جوب داره بگید

راجع به سوال اول اقای aras1123 هم یه سوال مشابه تو imo همین اواخر یعنی 2000 تا 2010 بوده فک کنم باید 2006 بوده باشه اخه ایده ی حلشون یکیه!!!

Dadgarnia · 1393/9/14

پاسخ : ماراتن نظریه ی اعداد (سطح ممتاز)

math1998 گفت

اين چيزايي كه نوشتين كه بديهيه! لطفا راهتون رو كامل بنويسين.

math1998 · 1393/9/14

پاسخ : ماراتن نظریه ی اعداد (سطح ممتاز)

Dadgarnia گفت

$1)7^z=x^2+2x+4,3^y=x-2\Rightarrow 7^z=12+(3^y+4)(3^y)\Rightarrow y=0\Rightarrow z\notin \mathbb{N}$

$2)x-2=3,7^z3^{y-1}=x^2+2x+4 \Rightarrow x=5$

$3)3^{y-1}=x^2+2x+4,7^z3=x-2\Rightarrow 3^{y-1}=3(7^z)^2+4+4(7^z)=3^{y-1}\overset{mod3}{\rightarrow}0\equiv 2$

$4)7^z=x-2,3^y=x^2+2x+4\Rightarrow 12+(4+7^z)(7^z)=3^y\overset{mod3}{\rightarrow}0\equiv 2$

بقیشون هم خب مشابهن دیگه!!!!

Dadgarnia · 1393/9/14

پاسخ : ماراتن نظریه ی اعداد (سطح ممتاز)

math1998 گفت

نگاه كنيد شما توي حالت اول و سوم و چهارم اشتباه محاسباتي كردين! به خاطر همينه كه ميگم كامل بنويسين تا اگه اشتباه كرده بودين درستش كنين :3:.

Dadgarnia · 1393/9/28

پاسخ : ماراتن نظریه ی اعداد (سطح ممتاز)

جواب سوال قبل: AoPS Forum - Find all (x,y,z) • Art of Problem Solving
یه سوال راحت برای راه افتادن ماراتن:
قرار دهید

$N=\prod_{i=1}^{p-1}(i^2+1)$

که

$p$

یک عدد اول است. تمام باقی مانده های تقسیم

$N$

بر

$p$

را بیابید.

REZA 73 · 1393/10/8

پاسخ : ماراتن نظریه ی اعداد (سطح ممتاز)

Dadgarnia گفت

اگه p به صورت 4k+1 باشه طبق قضایای مانده و تقابل حتما یکی از اون پرانتز ها بر p بخشپذیره،یعنی باقیمانده صفره، اگه هم به فرم 4k+3 باشه باقیمانده صفر نیس . البته کمی که بررسی کردم به نظرم در این حالت باقیمانده 4 میشه.سوال تقابله؟؟؟

Dadgarnia · 1393/10/8

پاسخ : ماراتن نظریه ی اعداد (سطح ممتاز)

REZA 73 گفت

نمی دونم تا حالا امتحان نکردم البته من فقط یه جواب تا حالا برای این سوال دیدم. ولی یه راهنمایی می تونم بکنم البته جوابتون درسته:
اگه قرار بدیم

$P(x)=(1+x)(2+x)\cdots (p-1+x)$

اون وقت چندجمله ای صحیح الضرایب

$Q$

وجود داره به طوریکه

$P(x)=x^{p-1}-1+pQ(x)$

.

aras2213 · 1393/10/8

پاسخ : ماراتن نظریه ی اعداد (سطح ممتاز)

برای حالت p=4k+3 داریم: (به پیمانه p)

$x^{\frac{p-1}{2}}-1\equiv (x-1^2)(x-2^2)...(x-(\frac{p-1}{2})^2)$

.که اگر -1 رو جایگذاری کنیم به 4 میرسیم.

---- دو نوشته به هم متصل شده است ----

سوال بعد:همه

$x,y\in \mathbb{N}$

را بیابید که

$xy-1\mid (x^2-x+1)^2$

.

REZA 73 · 1393/10/8

پاسخ : ماراتن نظریه ی اعداد (سطح ممتاز)

aras2213 گفت

چون وقت کافی ندارم یه سری چیز که بهش رسیدم رو مینویسم. امیدوارم که به دردبخوره . اگه هیچ کمکی نمیکنه لطفا بگین پست رو حذف کنم تاپیک شلوغ نشه الکی:
اول باید اثبات کرد که معادله متقارنه یعنی:

$xy-1\mid (y^2-y+1)^2$

بعد :

$xy-1\mid (y^2-y+1)^2-(x^2-x+1)^2$

$\Rightarrow xy-1\mid (x^2+y^2-(x+y)+2)((x-y)(x+y-1))$

$\Rightarrow xy-1\mid ((x+y)^2-(x+y))((x-y)(x+y-1))$

یعنی مساله معادل با اینه که

$\frac{(x+y-1)^2}{xy-1}$

عدد طبیعی باشه یا

$\frac{3(x+y-1)^2}{xy-1}$

یادمه این جور چیزا رو با یه چیزی به نام ویت جامپینگ حل میکردن.
البته جواب بدیهیه 1و2 رو داره.

Dadgarnia · 1393/10/8

پاسخ : ماراتن نظریه ی اعداد (سطح ممتاز)

REZA 73 گفت

اون اولي رو چه جوري ثابت كردين؟
بله اسمش همينه ولي فكر كنم توي فارسي بهش ميگن نزول نامتناهي!

REZA 73 · 1393/10/8

پاسخ : ماراتن نظریه ی اعداد (سطح ممتاز)

Dadgarnia گفت

فک کنم اینجوری بشه :

$d\mid xy-1 ,d\mid x^2-x+1$

$d\mid x^2-x+xy\Rightarrow d\mid x+y-1\Rightarrow d\mid xy+y^2-y$

پس اگه d به فرم بزرگترین توان یکی از عامل های اول xy-1 باشه که

$x^2-x+1$

رو عاد میکنه پس

$y^2+y+1$

رو هم عاد میکنه. در نتیجه متقارنه.

aras2213 · 1393/10/8

پاسخ : ماراتن نظریه ی اعداد (سطح ممتاز)

REZA 73 گفت

چون وقت کافی ندارم یه سری چیز که بهش رسیدم رو مینویسم. امیدوارم که به دردبخوره . اگه هیچ کمکی نمیکنه لطفا بگین پست رو حذف کنم تاپیک شلوغ نشه الکی:
اول باید اثبات کرد که معادله متقارنه یعنی:

$xy-1\mid (y^2-y+1)^2$

بعد :

$xy-1\mid (y^2-y+1)^2-(x^2-x+1)^2$

$\Rightarrow xy-1\mid (x^2+y^2-(x+y)+2)((x-y)(x+y-1))$

$\Rightarrow xy-1\mid ((x+y)^2-(x+y))((x-y)(x+y-1))$

یعنی مساله معادل با اینه که

$\frac{(x+y-1)^2}{xy-1}$

عدد طبیعی باشه یا

$\frac{3(x+y-1)^2}{xy-1}$

یادمه این جور چیزا رو با یه چیزی به نام ویت جامپینگ حل میکردن.
البته جواب بدیهیه 1و2 رو داره.

شما درست میفرمایین! ایده همینه.

REZA 73 · 1393/10/8

پاسخ : ماراتن نظریه ی اعداد (سطح ممتاز)

اگه xو y جواب باشند به طوریکه y> x آنگاه y و 2y-x+2 هم جوابه،یعنی شما از روی 1و 2 بیشمار جواب میتونین بسازین،مثلا2و5 یا 5و10. یعنی مساله بیشمار جواب داره.
این جواب رو از روی گام ویت جامپینگ میشه به دست آورد کلا باید ثابت بشه که حاصل اون کسری که تو پست آخر گفتم در صورت طبیعی بودن برابر 4 است.

Dadgarnia · 1393/10/9

پاسخ : ماراتن نظریه ی اعداد (سطح ممتاز)

REZA 73 گفت

نه اگه

$x=y=2$

رو بذاریم حاصل اون کسر میشه 3.

REZA 73 · 1393/10/9

پاسخ : ماراتن نظریه ی اعداد (سطح ممتاز)

Dadgarnia گفت

چون معادله متقارنه فرض کنید:

$y> x$

حالا کوچکترین زوجی مثل x و y رو در نظر بگیرید که y بین همه جوابایی که k مساوی 4 نمیشه کوچکترینه.

$\frac{(x+y-1)^2}{xy-1}=k\Rightarrow y^2-(kx-2x+2)y-2x+x^2+k+1=0$

پس این هم جوابه:

$(kx-2x+2-y,y)$

پس طبق فرض باید داشته باشیم:

$kx-2x-y+2\geq y\Rightarrow \(\frac{(x+y-1)^2}{xy-1}-2)x+2\geq 2y$

حالا همین رو ادامه بدید یا به تناقض میرسید یا اگه وجود داشته باشند k میشه 4.
در کل همچین چیزی واسه حل به کار میره البته من راه حل رو به طور کامل ننوشتم. حالت تساوی x و y هم به عنوان یه حالت خاص بررسی میشه که سادست.

AHZolfaghari · 1393/10/9

پاسخ : ماراتن نظریه ی اعداد (سطح ممتاز)

سوال بعد

a,b,c سه عدد صحیح هستند بنحوی که

$ab \vert c(c^2-c+1)$

,

$c^2+1 \vert a+b$

اثبات بفرمایید که دو مجموعه

$\left \{ a,b \right \} , \left \{ c,c^2-c+1 \right \}$

بر یکدیگر منطبق اند

---- دو نوشته به هم متصل شده است ----

ببخشید a,b,c اعدادی طبیعی هستند

REZA 73 · 1393/10/12

پاسخ : ماراتن نظریه ی اعداد (سطح ممتاز)

AHZolfaghari گفت

فرض کنید b بزرگتر از a باشه و

$b\geq c^2-c+1$

پس

$a\leq c$

از طرفی:

$c^2+1\mid c(c^2-c+1)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})\Rightarrow c^2+1\mid -c^2+\frac{ac(c^2-c+1)}{b}$

ولی طبق فرض داریم:

$\frac{ac(c^2-c+1)}{b}< \frac{c^2(c^2-c+1)}{c^2-c+1}$

پس واضحه که حکم مساله به دست میاید یعنی

$\frac{ac(c^2-c+1)}{b}=c^2$

که با توجه به اول بودن

$c,c^2-c+1$

نسبت به هم نتیجه میشه.
حالت بعدی

$b\leq c^2-c+1$

$2c^2-2c+2\geq 2b\geq b+a\geq c^2+1\Rightarrow c^2+1=b+a$

که ازین حالت هم حکم مساله براحتی اثبات میشه.چون:

$b\leq c^2-c+1\Rightarrow a\geq c\Rightarrow b> c$

$c^3-c^2+c\geq ac^2-a^2+a\Rightarrow (a-c)(a+c)\geq (c^2+1)(a-c)\Rightarrow a=c$

دقت کنید که اول فرض شده بود:

$b> a$

Dadgarnia · 1393/10/13

پاسخ : ماراتن نظریه ی اعداد (سطح ممتاز)

REZA 73 گفت

در مورد نامساوی اول توضیح میدین؟

REZA 73 · 1393/10/13

پاسخ : ماراتن نظریه ی اعداد (سطح ممتاز)

Dadgarnia گفت

خب b رو بر حسب a نوشتم،که باید( c(c^2-c+1 رو عاد کنه و در ضمن کوچکتر هم باشه

ماراتن نظریه ی اعداد (سطح ممتاز)

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

Active Member

New Member

New Member

Active Member

New Member

Active Member

New Member

Active Member

New Member

Active Member

Well-Known Member

Active Member

New Member

Active Member