ماراتن نظریه ی اعداد (سطح ممتاز)

Dadgarnia · 1393/10/13

پاسخ : ماراتن نظریه ی اعداد (سطح ممتاز)

سوال بعد:
تمام اعداد اول

را بیابید به طوریکه داشته باشیم:

m-saghaei · 1393/10/15

پاسخ : ماراتن نظریه ی اعداد (سطح ممتاز)

Dadgarnia گفت

خیلی قشنگ بود!

اول میدونیم:

$rp^3=2rq^2+q^2+q-p^2-p$

حالا اگه به پیمانه دو بزنیم طرف راست به دو بخشپذیره پس طرف چپ هم باید بخشپذیر باشه.حالا یا

$p=2$

یا

$r=2$

اگه

$p=2$

باشه معادله میشه

$8r+6=2rq^2+q^2+q$

پس

$8r-2rq^2=q^2+q+6$

یعنی

$2r(4-q^2)=q^2+q+6$

که چون طرف

راست مثبته و q از دو بزرگتره تناقضه.(چون طرف چپ منفی میشه!)

پس باید داشته باشیم

$r=2$

که اگه بازنویسی کنیم و ساده کنیم میشه

$p(2p^2+p+1)=q(5q+1)$

پس باید داشته باشیم

$\left\{\begin{matrix} p|5q+1\rightarrow 5q+1=pk\rightarrow q=\frac{pk-1}{5} & \\ q|2p^2+p+1\rightarrow 2p^2+p+1=qk\rightarrow q=\frac{2p^2+p+1}{k} & \end{matrix}\right.$

پس باید داشته باشیم

$\frac{pk-1}{5} =\frac{2p^2+p+1}{k} &$

پس

$p(k^2-10p-5)=k+5$

و روابط روبرو رو هم داریم

$\left\{\begin{matrix} p|k+5\rightarrow p\leq k+5 & \\ k^2-10p-5\leq k+5 & \end{matrix}\right.$

که با استفاده از اینا درمیاد

$k^2-k\leq 10p+10\leq 10(k+5)+10= 10k+60$

پس یعنی

$k^2-11k-60\leq 0$

که تجزیش کنیم میشه

$(k-15)(k+4)\leq 0$

پس یعنی

$k\leq 15$

و میدونیم که

$k$

زوجه پس باید

$k=2,4,6,8,10,12,14$

رو چک کنیم!

که تک تک چک کردم همشون به یه معادله درجه دو برحسب

$p$

میرسه که دلتای همشون به جز

$k=14$

صحیح نمیشه! (با ماشین حساب!)

پس فقط

$k=14$

که از اونجا هم دلتاش میشه

$35721=189^2$

که بعدشم در میاد

$p=19$

و

$q=53$

و

$r=2$

پس تنها جواب میشه

$(p,q,r)=(19,53,2)$

Dadgarnia · 1393/10/15

پاسخ : ماراتن نظریه ی اعداد (سطح ممتاز)

m-saghaei گفت

خیلی قشنگ بود!

اول میدونیم:

$rp^3=2rq^2+q^2+q-p^2-p$

حالا اگه به پیمانه دو بزنیم طرف راست به دو بخشپذیره پس طرف چپ هم باید بخشپذیر باشه.حالا یا

$p=2$

یا

$r=2$

اگه

$p=2$

باشه معادله میشه

$8r+6=2rq^2+q^2+q$

پس

$8r-2rq^2=q^2+q+6$

یعنی

$2r(4-q^2)=q^2+q+6$

که چون طرف

راست مثبته و q از دو بزرگتره تناقضه.(چون طرف چپ منفی میشه!)

پس باید داشته باشیم

$r=2$

که اگه بازنویسی کنیم و ساده کنیم میشه

$p(2p^2+p+1)=q(5q+1)$

پس باید داشته باشیم

$\left\{\begin{matrix} p|5q+1\rightarrow 5q+1=pk\rightarrow q=\frac{pk-1}{5} & \\ q|2p^2+p+1\rightarrow 2p^2+p+1=qk\rightarrow q=\frac{2p^2+p+1}{k} & \end{matrix}\right.$

پس باید داشته باشیم

$\frac{pk-1}{5} =\frac{2p^2+p+1}{k} &$

پس

$p(k^2-10p-5)=k+5$

و روابط روبرو رو هم داریم

$\left\{\begin{matrix} p|k+5\rightarrow p\leq k+5 & \\ k^2-10p-5\leq k+5 & \end{matrix}\right.$

که با استفاده از اینا درمیاد

$k^2-k\leq 10p+10\leq 10(k+5)+10= 10k+60$

پس یعنی

$k^2-11k-60\leq 0$

که تجزیش کنیم میشه

$(k-15)(k+4)\leq 0$

پس یعنی

$k\leq 15$

و میدونیم که

$k$

زوجه پس باید

$k=2,4,6,8,10,12,14$

رو چک کنیم!

که تک تک چک کردم همشون به یه معادله درجه دو برحسب

$p$

میرسه که دلتای همشون به جز

$k=14$

صحیح نمیشه! (با ماشین حساب!)

پس فقط

$k=14$

که از اونجا هم دلتاش میشه

$35721=189^2$

که بعدشم در میاد

$p=19$

و

$q=53$

و

$r=2$

پس تنها جواب میشه

$(p,q,r)=(19,53,2)$

فقط یه اشتباه کوچیک کردین ممکنه که دو تا از اعداد اول ما مساوی باشند که بررسیش ساده ست. لطفا سوال بعد رو هم بذارین.

m-saghaei · 1393/10/15

پاسخ : ماراتن نظریه ی اعداد (سطح ممتاز)

Dadgarnia گفت

بله راست میگین!
میشه خودتون بزارین؟من سوال ندارم!

Dadgarnia · 1393/10/15

پاسخ : ماراتن نظریه ی اعداد (سطح ممتاز)

سوال بعد:
تمام سه تایی های

از اعداد صحیح مثبت را بیابید که داشته باشیم:

aras2213 · 1393/10/15

پاسخ : ماراتن نظریه ی اعداد (سطح ممتاز)

با توجه به معادله،

$a\mid c\rightarrow c=ak$

جایگذاری میکنیم،

$a^2-abk-(b+k)=0,\Delta =b^2k^2+4b+4k$

.حالا دلتا باید مربع کامل باشه و

$b^2k^2< \Delta \leq (bk+2)^2$

و تساوی سمت راست فقط برای b=k=1 رخ میده.پس اگر b,k هر دو یک نباشن،

$b^2k^2+4b+4k=\Delta =(bk+1)^2\rightarrow 4b+4k=2bk+1$

که تناقضه.پس همون حالت b=k=1 میمونه که نتیجه میده:

$(a,b,c)=(2,1,2)$

.

m-saghaei · 1393/10/15

پاسخ : ماراتن نظریه ی اعداد (سطح ممتاز)

aras2213 گفت

ولی فکر کنم دسته ای جواباش باشه!
چون من فعلا دسته جواب

$(k,1,k(k-1)),(k,k-1,k)$

رو واسش پیدا کردم!

Dadgarnia · 1393/10/15

پاسخ : ماراتن نظریه ی اعداد (سطح ممتاز)

aras2213 گفت

اونجایی که میگید تساوی سمت راست فقط برای b=k=1 رخ میده غلطه!

aras2213 · 1393/10/15

پاسخ : ماراتن نظریه ی اعداد (سطح ممتاز)

m-saghaei گفت

راست میگی،یه دقیقه بزار چک کنم:90:

---- دو نوشته به هم متصل شده است ----

Dadgarnia گفت

چه جوب ظریفی!
تساوی به ازای b=1 یا k=1 رخ میده که در هر حالت یکی از این دو تا بدست میان:

$(k,1,k(k-1)),(k,k-1,k)$

.
آیا الان درسته؟:98:

Dadgarnia · 1393/10/15

پاسخ : ماراتن نظریه ی اعداد (سطح ممتاز)

aras2213 گفت

خواهش می کنم! :4:
لطفا سوال بعد رو هم بذارین.

aras2213 · 1393/10/15

پاسخ : ماراتن نظریه ی اعداد (سطح ممتاز)

دنباله

$a_n$

را این گونه تعریف میکنیم:

$a_1=a_2=97,a_{n+1}=a_na_{n-1}+\sqrt{(a_n^2-1)(a_{n-1}^2-1)}$

نشان دهید برای هر n،

$2+\sqrt{2+2a_n}$

مربع کامل است.(این سوال تو آیریسک هم هست)
(موفق باشید :204:،تا دیگه از من جوب نگیرید:4

Dadgarnia · 1393/10/16

پاسخ : ماراتن نظریه ی اعداد (سطح ممتاز)

aras2213 گفت

سوال خيلي با حالي بود البته من هر چي گشتم نتونستم توي آيريسك پيداش كنم :4:
با استفاده از رابطه ي بازگشتي دنباله داريم:

$\sqrt{(a_{n+1}^2-1)(a_n^2-1)}=a_{n-1}(a_n^2-1)+a_n\sqrt{(a_{n-1}^2-1)(a_n^2-1)}$

با استفاده از رابطه ي بالا به راحتي با استقرا ثابت ميشه كه همه ي اعضاي اين دنباله طبيعيند. حالا ثابت مي كنيم دنباله ي

$b_n=\frac{1}{2}\sqrt{2+\sqrt{2+2a_n}}$

هم توي رابطه ي بازگشتي دنباله ي

$a_n$

صدق مي كنه كه با استفاده از رابطه ي زير اين حكم به راحتي ثابت ميشه:

$\sqrt{2+2a_{n+1}}=\sqrt{(a_{n-1}+1)(a_{n}+1)}+\sqrt{(a_{n-1}-1)(a_{n}-1)}$

پس اعضاي دنباله ي

$b_n$

طبيعي هستند كه حكم رو نتيجه ميده.

---- دو نوشته به هم متصل شده است ----

ببخشيد من سوال ندارم لطفا يه نفر سوال بعدي رو بذاره!

---- دو نوشته به هم متصل شده است ----

چون کسی سوال نذاشت من خودم سوال بعدی رو میذارم ولی سطحش اصلا ممتاز نیست:
همه ی اعداد صحیح

$(n,k)$

را بیابید به طوریکه داشته باشیم:

$n!=(n+1)^k-1$

m-saghaei · 1393/10/22

پاسخ : ماراتن نظریه ی اعداد (سطح ممتاز)

Dadgarnia گفت

اول از همه فرض میکنیم n از 5 بزرگتر باشه.بعدش طبق نیوتون داریم:

$n!=n^k+kn^k^-^1+...+\binom{k}{2}n^2+kn+1-1=n^k+kn^k^-^1+...+\frac{k(k-1)}{2}n+kn$

پس:

$(n-1)!=n^k^-^1+kn^k^-^2+...+\frac{k(k-1)}{2}n+k$

. حالا اگه

$n$

اول نباشه اونوقت داریم

$n|k\rightarrow n\leq k$

پس

$n!+1= (n+1)^k\geq (n+1)^n$

که اگه n مساوی یک نباشه تناقضه.پس اینجا یه جواب

$n=k=1$

رو داریم.

و از طرفی اگه

$n-1$

اول نباشه مثلا داریم

$n-1=ab$

.حالا اگه اینو بزاریم تو صورت مسئله داریم

$a|n!+1$

و از طرفی چون داریم

$a|n!$

که

$a=1$

تناقضه!

پس

$n-1=p$

پس

$n=p+1$

و از طرفی هم از همون اول داشتیم که

$n$

اوله.پس تنها حالت

$n=2$

که نتیجه میده

$k=1$

.

حالا هم فقط باید حالتهای

$n\leq 4$

رو بررسی کنیم که تو اینا هم فقط

$n=4,k=2$

جواب میده!

پس در کل جواب ها میشن:

$(n,k)=(1,1),(2,1),(4,2)$

Dadgarnia · 1393/10/22

پاسخ : ماراتن نظریه ی اعداد (سطح ممتاز)

m-saghaei گفت

اول از همه فرض میکنیم n از 5 بزرگتر باشه.بعدش طبق نیوتون داریم:

$n!=n^k+kn^k^-^1+...+\binom{k}{2}n^2+kn+1-1=n^k+kn^k^-^1+...+\frac{k(k-1)}{2}n+kn$

پس:

$(n-1)!=n^k^-^1+kn^k^-^2+...+\frac{k(k-1)}{2}n+k$

. حالا اگه

$n$

اول نباشه اونوقت داریم

$n|k\rightarrow n\leq k$

پس

$n!+1= (n+1)^k\geq (n+1)^n$

که اگه n مساوی یک نباشه تناقضه.پس اینجا یه جواب

$n=k=1$

رو داریم.

و از طرفی اگه

$n-1$

اول نباشه مثلا داریم

$n-1=ab$

.حالا اگه اینو بزاریم تو صورت مسئله داریم

$a|n!+1$

و از طرفی چون داریم

$a|n!$

که

$a=1$

تناقضه!

پس

$n-1=p$

پس

$n=p+1$

و از طرفی هم از همون اول داشتیم که

$n$

اوله.پس تنها حالت

$n=2$

که نتیجه میده

$k=1$

.

حالا هم فقط باید حالتهای

$n\leq 4$

رو بررسی کنیم که تو اینا هم فقط

$n=4,k=2$

جواب میده!

پس در کل جواب ها میشن:

$(n,k)=(1,1),(2,1),(4,2)$

چرا

$a|n!+1$

؟

m-saghaei · 1393/10/22

پاسخ : ماراتن نظریه ی اعداد (سطح ممتاز)

Dadgarnia گفت

تو جوابش این تیکه رو اشتباه نوشتم(طبق صورت مسئله...)!
اصلا این تیکشو یه جور دیگه میگم. میدونیم که

$a|n!$

و

$a|n+1$

پس

$a|n!+(n-1)!$

که نتیجه میشه

$a|(n-1)!$

و اگه همین روند رو ادامه بدیم در میاد

$a|1$

!

Dadgarnia · 1393/10/22

پاسخ : ماراتن نظریه ی اعداد (سطح ممتاز)

m-saghaei گفت

چرا

$a|n+1$

؟ اين تنها در صورتي درسته كه a يك يا دو باشه.

m-saghaei · 1393/10/22

پاسخ : ماراتن نظریه ی اعداد (سطح ممتاز)

Dadgarnia گفت

خوب مگه نداریم

$n+1=ab\rightarrow a|n+1$

؟!

Dadgarnia · 1393/10/22

پاسخ : ماراتن نظریه ی اعداد (سطح ممتاز)

m-saghaei گفت

شما خودتون توي راه حل نوشتين

$n-1=ab$

! اگه اشتباه نوشته بودين اينو چه جوري بدست ميارين

$a|1$

؟ لطفا كامل بنويسين!

m-saghaei · 1393/10/22

پاسخ : ماراتن نظریه ی اعداد (سطح ممتاز)

Dadgarnia گفت

یه لحظه دوباره برگشتم خوندم دیدم نوشتمو اشتباه خونده بودم!
داریم

$n-1=ab$

پس

$a|n-1\rightarrow a|n!-(n-1)!$

و از طرفی

$a|n!$

پس

$a|(n-1)!$

که دوباره اگه ادامه بدیم در میاد

$a|1$

!
الان درست شد؟

Dadgarnia · 1393/10/22

پاسخ : ماراتن نظریه ی اعداد (سطح ممتاز)

m-saghaei گفت

نه غلطه! يه راهنمايي مي كنم شما بايد ثابت كنيد

$n+1$

اوله نه

$n-1$

.

ماراتن نظریه ی اعداد (سطح ممتاز)

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member