دو سوال هندسه

Dadgarnia · 1394/7/28

1- در مثلث

$ABC$

محل برخورد دايره محاطي داخلي با

$BC$

را

$D$

و وسط

$AD,BC$

را به ترتيب

$N,M$

و مركز دايره محاطي داخلي را

$I$

مي ناميم. ثابت كنيد

$M,I,N$

همخطند.
2- در مثلث

$ABC$

محل برخورد دايره محاطي خارجي متناظر با راس

$A$

با

$BC$

را

$D$

و وسط ارتفاع راس

$A$

را

$M$

و مركز دايره محاطي داخلي را

$I$

مي ناميم. ثابت كنيد

$D,I,M$

همخطند.

REZA 73 · 1394/8/2

پاسخ : دو سوال هندسه

Dadgarnia گفت

راه حل من برای سوال اول:
ابتدا فرض کنید

$b> c$

. از نقاط N و A به ترتیب بر BC عمود میکنیم و پای نقاط را K و H می نامیم.

$BD=\frac{a+c-b}{2}\Rightarrow MD=\frac{b-c}{2}$

$BH=ccosB\Rightarrow DH=\frac{a+c-b}{2}-ccosB\Rightarrow KD=\frac{a+c-b}{4}-\frac{c}{2}cosB$

$MK=MD+HD= \frac{a+c-b}{4}+\frac{b-c}{2}-\frac{c}{2}cosB$

$NK=\frac{AH}{2}=\frac{c}{2}sinB$

$\Rightarrow tg \angle DMN=\frac{csinB}{\frac{a+b-c}{2}-ccosB}$

از طرفی داریم(r شعاع دایره ی محاطی است.):

$tg\angle DMI=\frac{r}{MD}= \frac{2r}{b-c}$

با توجه به رابطه مساحت ها میدونیم که:

$r(a+b+c)=2S=acsinB\rightarrow \frac{2r}{b-c}=\frac{2acsinB}{(a+b+c)(b-c)}$

پس برای اثبات حکم کافی است ثابت کنیم:

$\frac{2acsinB}{(a+b+c)(b-c)}=\frac{csinB}{\frac{a+b-c}{2}-ccosB}$

با استفاده از رابطه کسینوس ها :

$cosB=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}$

بررسی درستی رابطه بالا خیلی سادس. پس حکم مساله برقراره!

Dadgarnia · 1394/8/2

پاسخ : دو سوال هندسه

یه راه هندسی تر برای این سوال:
محل برخورد دایره محاطی داخلی با

$CA,AB$

رو

$E,F$

و محل برخورد دایره محاطی خارجی نظیر راس

$A$

با

$BC$

رو

$D'$

و پای نیمساز راس

$A$

رو

$K$

می نامیم. فرض می کنیم AC>AB. می دونیم که

$MN\parallel AD'$

پس کافیه ثابت کنیم

$MI\parallel AD'$

یا

$\frac{MK}{MD'}=\frac{KI}{AI}$

. قرار میدیم

$AF=x,BD=y,CE=z$

. داریم:

$\frac{MK}{MD'}=\frac{MK}{MD}=\frac{\frac{(y+z)(y-z)}{2(2x+y+z)}}{\frac{y-z}{2}}=\frac{y+z}{2x+y+z}$

$\frac{KI}{AI}=\frac{CK}{AC}=\frac{\frac{(y+z)(z+x)}{2x+y+z}}{z+x}=\frac{y+z}{2x+y+z}$

پس حکم ثابت شد.

Dadgarnia · 1394/8/3

پاسخ : دو سوال هندسه

رو اين هم فكر كنيد (از نظر من خيلي قشنگه!):
در مثلث

$ABC$

نقاط

$A',B',C'$

به ترتيب روي ارتفاع هاي نظير رئوس

$A,B,C$

طوري قرار دارند كه

$S_{\overset{\triangle}{BA'C}}+S_{\overset{\triangle}{AC'B}}+S_{\overset{\triangle}{CB'A}}=S_{\overset{\triangle}{ABC}}$

. اگر مركز ارتفاعي مثلث را

$H$

بناميم ثابت كنيد

$H,A',B',C'$

روي يك دايره قرار دارند.

Seyed Amir Hosseini · 1394/8/5

پاسخ : دو سوال هندسه

Dadgarnia گفت

ميشه يه شكل از صورت سوال بذاريد من هر چي ميكشم درست در نمياد

Dadgarnia · 1394/8/6

پاسخ : دو سوال هندسه

Seyed Amir Hosseini گفت

پاي ارتفاع راس

$A$

رو

$D$

مي ناميم. حالا اگه

$A'$

رو روي پاره خط

$HD$

و

$B',C'$

رو روي پاره خط هاي

$BH,CH$

در نظر بگيريم تقريبا شرط سوال رعايت ميشه.

دو سوال هندسه

Dadgarnia

New Member

REZA 73

Active Member

Dadgarnia

New Member

Dadgarnia

New Member

Seyed Amir Hosseini

Active Member

Dadgarnia

New Member