معادله ای در اعداد گویا .....

math · 1390/12/26

سلام

خواهشا جواب این سوال رو بگید

جواب معادله ی زیر را در اعداد گویا بیابید

$x^2+y^2+z^2+3(x+y+z)+5=0$

بلغارستان 1997

threehandsnal · 1390/12/26

پاسخ : معادله ای در اعداد گویا .....

با کمی ساده سازی داریم:

$(x+1.5)^2+(y+1.5)^2+(z+1.5)^2=1.75$

حال از سه تغییر متغیر

$\left\{\begin{matrix} a=2(x+1.5)\\ b=2(y+1.5)\\ c=2(z+1.5) \end{matrix}\right.$

استفاده کرده و معادله به معادله زیر تبدیل می شود:

$a^2+b^2+c^2=7$

حال سه حالت را در نظر میگیریم:

حالت اول) اگر هر سه این اعداد ناصفر باشند،آنگاه کوچکترین مضرب مشترک مخرج این سه عدد را

$d$

فرض میکنیم.حال مینویسیم:

(

$p,q,r,d\in \mathbb{Z}$

,

$(p,q,r)=1$

)

$\left\{\begin{matrix} p=ad\\ q=bd\\ r=cd \end{matrix}\right.$

$p^2+q^2+r^2=7d^2$

$p^2+q^2+r^2+d^2\equiv 0(mod\: 8)$

از آنجا که

$(p,q,r)=1$

است و تنها حالت های ممکن برای یک عدد صحیح مربع کامل در مبنای 8،اعداد 0و1و4 هستند، در می یابیم که هیچ حالتی وجود ندارد.:3: پس این حالت نقض شد.

حالت دوم) حال اگر یکی از این اعداد مثلا a صفر باشد آنگاه به معادله

$q^2+r^2=7d^2$

میرسیم (d کوچکترین مضرب مشترک مخرج دو عدد b,c است).حال فرض کنید (q,r,d) کوچکترین سه تایی مرتب طبیعی باشد که در این معادله صدق میکند.داریم:

$\Rightarrow 7|a,7|b\Rightarrow a=7u,b=7v\Rightarrow 7(u^2+v^2)=d^2\Rightarrow 7|d\Rightarrow d=7s\Rightarrow u^2+v^2=7s^2$

پس توانستیم به جوابی کوچکتر برسیم که تناقض است!

حالت سوم)در صورتی که دو تا از این اعداد مثلا b,c صفر باشند به معادله

$a^2=7$

رسیده و به تناقض میرسیم!

پس این معادله در اعداد گویا جواب ندارد.

math · 1390/12/27

پاسخ : معادله ای در اعداد گویا .....

threehandsnal گفت

با کمی ساده سازی داریم:

$(x+1.5)^2+(y+1.5)^2+(z+1.5)^2=1.75$

حال از سه تغییر متغیر

$\left\{\begin{matrix} a=2(x+1.5)\\ b=2(y+1.5)\\ c=2(z+1.5) \end{matrix}\right.$

استفاده کرده و معادله به معادله زیر تبدیل می شود:

$a^2+b^2+c^2=7$

حال سه حالت را در نظر میگیریم:

حالت اول) اگر هر سه این اعداد ناصفر باشند،آنگاه کوچکترین مضرب مشترک مخرج این سه عدد را

$d$

فرض میکنیم.حال مینویسیم:

(

$p,q,r,d\in \mathbb{Z}$

,

$(p,q,r)=1$

)

$\left\{\begin{matrix} p=ad\\ q=bd\\ r=cd \end{matrix}\right.$

$p^2+q^2+r^2=7d^2$

$p^2+q^2+r^2+d^2\equiv 0(mod\: 8)$

از آنجا که

$(p,q,r)=1$

است و تنها حالت های ممکن برای یک عدد صحیح مربع کامل در مبنای 8،اعداد 0و1و4 هستند، در می یابیم که هیچ حالتی وجود ندارد.:3: پس این حالت نقض شد.

حالت دوم) حال اگر یکی از این اعداد مثلا a صفر باشد آنگاه به معادله

$q^2+r^2=7d^2$

میرسیم (d کوچکترین مضرب مشترک مخرج دو عدد b,c است).حال فرض کنید (q,r,d) کوچکترین سه تایی مرتب طبیعی باشد که در این معادله صدق میکند.داریم:

$\Rightarrow 7|a,7|b\Rightarrow a=7u,b=7v\Rightarrow 7(u^2+v^2)=d^2\Rightarrow 7|d\Rightarrow d=7s\Rightarrow u^2+v^2=7s^2$

پس توانستیم به جوابی کوچکتر برسیم که تناقض است!

حالت سوم)در صورتی که دو تا از این اعداد مثلا b,c صفر باشند به معادله

$a^2=7$

رسیده و به تناقض میرسیم!

پس این معادله در اعداد گویا جواب ندارد.

واقعا ممنونم :3:

mahanmath · 1390/12/27

پاسخ : معادله ای در اعداد گویا .....

از ۷ بودن سمت راست اگه استفاده نکنیم غلط می‌شه :23:، من متوجه نمیشم چجوری استفاده کردی از این. اگه می‌شه توضیح بده .

اون که جواب‌ها کران دارند مساله رو تموم نمی‌کنه چون تو عدد‌های گویا هستیم :1:. مثلا معادله a^2 + b^2 =1 بی‌ نهیات جواب داره تو عدد‌های گویا .

حالا هرکی · 1390/12/27

پاسخ : معادله ای در اعداد گویا .....

فهمیدم zرو نمیشه ثابت فرض کرد چون ممکنه یه zدیگه باشه که توی رابطه صدق کنه.

معادله ای در اعداد گویا .....

math

New Member

threehandsnal

New Member

math

New Member

mahanmath

New Member

حالا هرکی

New Member