Poncelet's Porism

hkh74 · 1391/1/8

Poncelet's Porism -- from Wolfram MathWorld

چون اثبات این قضیه رو جایی ندیدم اگر اثباتی هندسی برای حالت n=3 (مثلث محاط در دایره و محیط بر دایره ی دیگر) دارید، لطفا اینجا قرار دهید.

من هم به زودی اثبات خودم رو قرار میدم...

Aref · 1391/1/8

پاسخ : Poncelet's Porism

hkh74 گفت

توی شاریگین یه اثبات هست که خودم هنوز نخوندم. یه اثبات هم با مکان هندسی هستش. البته شاید جفتشون یکی باشند.

MBGO · 1391/1/8

پاسخ : Poncelet's Porism

با سلام

اثبات poncelet's porism با قضیه اویلر هست. اول با برهان خلف میگی از نقطه D دو تا مماس به دایره داخلیه وصل میکنیم،(حالا اگه اثبات قضیه اویلر تو ذهنت باشه) بقیش تقریبا راحته....دقیقا همون اثبات قضیه اویلر برای اثبات فرض خلف به کار میره...در هر صورت اگه نشد بگید تا راه کامل رو بذارم. (جالب هست که این مساله با خم های بیضوی هم حل میشه :Poncelet's closure theorem - Wikipedia, the free encyclopedia)

با تشکر.

hkh74 · 1391/1/9

پاسخ : Poncelet's Porism

MahanBabol گفت

من هم از همین راه اثبات کردم:

صورت قضیه برای حالت خاصی که گفتم: اگر

$(O,R),(I,r)$

دو دایره باشند طوریکه

$(I,r)$

داخل

$(O,R)$

قرار گرفته باشد و

$IO^2=R^2-2Rr$

، و

$A$

نقطه ای روی دایره ی بزرگتر باشد و مماس هایی که از آن بر

$(I,r)$

رسم می شوند برای بار دوم

$(O,R)$

را در

$B,C$

قطع کنند، آنگاه

$BC$

بر دایره ی کوچکتر مماس است.

اثبات: فرض کنیم

$BC$

بر دایره ی کوچکتر مماس نباشد، مرکز دایره ی محاطی

$ABC$

را

$I'$

(به شعاع

$r'$

) در نظر بگیرید. طبق قضیه ی اویلر و فرض داریم:

$\begin{cases} I'O^2=R^2-2Rr'\Rightarrow P^{I'}_{(O)}=2Rr' \\ IO^2=R^2-2Rr \Rightarrow P^{I}_{(O)}=2Rr \end{cases} \\ \\ \Rightarrow \frac{P^{I'}_{(O)}}{P^{I}_{(O)}}=\frac{r'}{r}$

اما

$A$

مرکز تجانس خارجی

$(I,r),(I',r')$

است. پس:

$\frac{AI}{AI'}=\frac{r}{r'}$

. فرض کنیم

$AII'$

دایره ی

$O$

را برای بار دوم در

$A'$

قطع کند، قوت

$I,I'$

را از طریق دیگری حساب می کنیم:

$\frac{r'}{r}=\frac{P^{I'}_{(O)}}{P^{I}_{(O)}}=\frac{AI'\times I'A'}{AI\times IA'}=\frac{r'}{r}\frac{I'A'}{IA'}\Rightarrow A'I=A'I'$

که به تناقض رسیده ایم.

MBGO · 1391/1/9

پاسخ : Poncelet's Porism

با سلام

ببین من این جوری رفتم: فرض کنیم دو دایره باشند به طوری که مثلثی وجود داشته باشه که بر یکی محاط و بر دیگری محیط باشه.(به ترتیب با مراکز و شعاع O,R و I,r) پس داریم

(I,(O )) =2Rr = AI.IT که T محل برخورد AI با (O) هست. حالا نقطه دلخواه D روی دایره (O) را انتخاب و از آن دو مماس بر دایره (I) رسم کرده و محل برخورد دو مماس بر دایره (O) را E,F می نامیم. فرض می کنیم EFمماس بر دایره (I) نباشد،اما (حالا هر کار برای اثبات رابطه اویلر کردیم رو پیاده می کنیم و به دست می آوریم

2Rr=DI.KF که در آن K محل برخورد DI با دایره (O) هست. از طرفی داریم : 2Rr =P(I,(O)) = DI.IK=DI.KF پس IK=KF و با استفاده ازچند دنباله روی زاویه به دست میاد که I مرکر دایره محاطی مثلث DEF بوده و به تناقض می رسیم.

باتشکر.

Poncelet's Porism

hkh74

New Member

Aref

New Member

MBGO

New Member

hkh74

New Member

MBGO

New Member