المپیاد آزمایشی ریاضی اردیبهشت 91

hoco.hc · 1391/2/2

یه آزمون آزمایشی گفتند که بزارم.
1- مثلث abc قائم الزاویه با طول اضلاع صحیح و ارتفاع های با طول صحیح است.محیط این مثلث چقدر است؟
2-در یک ماتریس مجموع اعداد هر سطر و هر ستون صحیح است. ثابت کنید می توان هر خانه را به سقف یا کف آن تبدیل کرد به طوری که مجموع اعداد هیچ سطر و ستونی تغییر نکند.
3-در مثلث abc فرض کنید d محل برخورد دایره محاطی خارجی نظیر a با ضلع bc باشد اگر محل برخورد ad با دایره محیطی abc را k بنامیم ثابت کنید شعاع دایره های محاطی داخل مثلث های ckd , bkd برابرند.

goodarz · 1391/2/2

پاسخ : آزمایشی

تو سوال 1 اون محیط باید عددی ثابت بشه؟؟

math · 1391/2/3

پاسخ : المپیاد آزمایشی ریاضی اردیبهشت 91

سوال یک نا معلومه اخه اگر یک عدد ثابت باشه که نمیشه اگر هم در غیر این صورت باشه میشه گفت a+b+c که بدیهی برابر محیط است و....

bgo · 1391/2/3

پاسخ : المپیاد آزمایشی ریاضی اردیبهشت 91

mathh گفت

یه اشتباه تایپی داره سوال میگه حداقل محیط رو پیدا کنید.............:3:

Fallen · 1391/2/3

پاسخ : المپیاد آزمایشی ریاضی اردیبهشت 91

برای سوال 1 اضلاع چون صحیح اند به این صورت اند :

(2drs , d( r^2 + S^2 ) , d (r^2 - S^2

برای اینکه ارتفاع هم صحیح بشه با ید d بر r^2 + s^2 بخشپذیر باشه که بیشمار مثلث میشه

چون دوتا از ارتفاع ها منطبق بر اضلاع اند و ارتفاع سوم هم برابر است با ضرب دو ضلع تقسیم بر وتر

ویرایش :

حداقل اعداد d , r , s اینا هستند : 1 و 2 و 5 پس حداقل اضلاع 20 و 15 و 25 و حداقل محیط 60 است

البته اگه بشه اضلاع رو 0 گرفت که حداقل محیط میشه 0 !!!

math · 1391/2/3

پاسخ : المپیاد آزمایشی ریاضی اردیبهشت 91

خوب این که بدیهی است ادامش چی ؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟

Fallen · 1391/2/3

پاسخ : المپیاد آزمایشی ریاضی اردیبهشت 91

mathh گفت

پست بالا رو ویرایش کردم

ببینید درسته ؟؟؟

Arash Z گفت

Fallen · 1391/2/3

پاسخ : المپیاد آزمایشی ریاضی اردیبهشت 91

دوست ندارم اسپم بدم ببخشید

ولی از اینهمه دوستان آنلاین کسی نیست جواب منو بررسی کنه ؟

goodarz · 1391/2/3

پاسخ : المپیاد آزمایشی ریاضی اردیبهشت 91

Arash Z گفت

دوست عزیز شما هنوز اصلا جوابی ندادی!! فقط گفتی حداقل r,s,d اینا هستن, ولی هیچ دیلیلی در مورد چراییش نگفتی!!!!

Fallen · 1391/2/3

پاسخ : المپیاد آزمایشی ریاضی اردیبهشت 91

goodarz گفت

با توجه به اینکه بر اساس فرمول 3 تایی فیثاغورثی d , r , s اعداد طبیعی اند و طول ضلع منفی نمی شود :

اگر اضلاع طبیعی باشند دو تا از ارتفاع ها که منطبق بر دو ضلع اند خودبخود طبیعی می شوند

ارتفاع نظیر وتر هم برابر با حاصلضرب دو ضلع بر وتر هست که برابر با : (2drsd(r^2 - S^2) / d(r^2+s^2 است که d پایین با یکی از d های بالا ساده شده و به صورت زیر در می آید :

(2drs(r^2-s^2)/(r^2+s^2

از آنجا که r,s مساوی نیستند ( چون در غیر اینصورت یکی ار اضلاع 0 می شود ) حداقل مقدار آنها 1 و 2 است که آنها را در فرمول جایگذاری میکنیم :

4d*3/5 =12d / 5

از آنجا که حاصل باید طبیعی باشد و این به آن معناست که 12d باید بر 5 بخشپذیر باشد پس حداقل مقدار d برای براورده شدن شرط برابر با 5 است

حالا هرکی · 1391/2/3

پاسخ : المپیاد آزمایشی ریاضی اردیبهشت 91

درسته جوابت

Fallen · 1391/2/3

پاسخ : المپیاد آزمایشی ریاضی اردیبهشت 91

حالا هرکی گفت

خدارو شکر

اگر گذار عزیز دیگری هم این دور و بر افتاد یه نگاهی به جواب من بندازه

goodarz · 1391/2/3

پاسخ : المپیاد آزمایشی ریاضی اردیبهشت 91

Arash Z گفت

تا اینجا قبول, ولی چرا این حداقل مقدار برای r,s, حداقل مقدار برای d رو هم بهمون میده؟شاید برای یه r,s بزرگ تری, مقدار d کوچیک تر از 5 باشه......شما باید اینها رو هم در اثباتتون لحاظ کنید :3:

threehandsnal · 1391/2/5

پاسخ : المپیاد آزمایشی ریاضی اردیبهشت 91

hoco.hc گفت

جواب نهایی Arash Z عزیز

درست بود ولی راه حلش ناکامل بود. واسه همین من راه حل کامل رو میذارم.فرض کنید

$(x,y,z)$

اضلاع مثلث باشند (z وتر است).میدانیم کلیه جواب های صحیح معادله فیثاغورثی به شکل

$(x,y,z)=(d(a^2-b^2),2abd,d(a^2+b^2))$

هستند که

$(a,b)=1$

است.

$h=\frac{2abd(a^2-b^2)}{a^2+b^2}\Rightarrow a^2+b^2|2abd(a^2-b^2)\Rightarrow a^2+b^2|4ab^3d$

می دانیم

$(a^2+b^2,a)=(a^2+b^2,b)=1$

پس طبق لم اقلیدس خواهیم داشت:

$a^2+b^2|4d$

میدانیم

$(a,b)=1$

.اگر a,b فرد باشند آنگاه بزرگترین توان 2 ای که

$a^2+b^2$

را میشمارد 1 است و اگر a,b زوجیت متفاوت داشته باشند،

$a^2+b^2$

فرد خواهد شد. پس در هر صورت بزرگترین توانی از 2 که

$a^2+b^2$

را میشمارد 1 است! پس طبق لم اقلیدس میتوان گفت:

$a^2+b^2|2d$

حال حالات اولیه برای d را بررسی میکنیم:

$d=1\Rightarrow a^2+b^2|2\rightarrow No\:Solution$

$d=2\Rightarrow a^2+b^2|4\rightarrow No\:Solution$

$d=3\Rightarrow a^2+b^2|6\rightarrow a=2,b=1\rightarrow h=7.2\notin \mathbb{N}\rightarrow No\:Solution$

$d=4\Rightarrow a^2+b^2|8\rightarrow a=2,b=1\rightarrow h=9.6\notin \mathbb{N}\rightarrow No\:Solution$

$d=5\Rightarrow a^2+b^2|10\rightarrow \left\{\begin{matrix} a=2,b=1\Rightarrow h=12\\ a=3,b=1\Rightarrow h=24 \end{matrix}\right.\Rightarrow min\left \{ solution \right \}=(2,1)$

این جواب را جواب اولیه بنامید!حال ثابت میکنیم این جواب کوچکترین جواب ممکن است! ابتدا مقدار محیط را برحسب a,b,d بدست می آوریم:

(1)

$P_{ABC}=d(a^2+b^2)+2abd+d(a^2-b^2)=2ad(a+b)$

حال اگر ثابت کنیم در جواب اولیه مان،

$ad(a+b)$

مینیموم است، آنگاه جواب اولیه، کوچکترین جواب خواهد شد (زیرا طبق رابطه (1) کمترین محیط را نیز دارا خواهد بود!)
می دانیم مقدار

$ad(a+b)$

در جواب اولیه برابر 30 است! حال باید ثابت کنیم:

$\forall d>5:ad(a+b)\geq 30$

برای اثبات از رابطه بازگشتی و استفاده از این نکته که

$a\geq b+1$

است استفاده می کنیم:

$\forall d>5:ad(a+b)\geq 30\Leftrightarrow ad(a+b)\geq d(b+1)(2b+1)\geq 6d\geq 30\Leftrightarrow d\geq 5$

که یک رابطه بدیهی است. پس حکم مورد نظر اثبات شد. پس جواب اولیه ما، کوچکترین جواب است که در آن

$(x,y,z,h,P_{ABC})=(15,20,25,12,60)$

است. پس

$\boxed{min\left \{ P_{ABC} \right \}=60}$

$\blacksquare$

حالا هرکی · 1391/2/6

پاسخ : المپیاد آزمایشی ریاضی اردیبهشت 91

خب سوال ترکیبیاتشم جا داره ک بگم برای دوستانی مثل آرش عزیز و...ک سعی کنید با استفاده از نظریه گراف ها حلش کنید .:227:

المپیاد آزمایشی ریاضی اردیبهشت 91

hoco.hc

New Member

goodarz

Well-Known Member

math

New Member

bgo

New Member

Fallen

Well-Known Member

math

New Member

Fallen

Well-Known Member

Fallen

Well-Known Member

goodarz

Well-Known Member

Fallen

Well-Known Member

حالا هرکی

New Member

Fallen

Well-Known Member

goodarz

Well-Known Member

threehandsnal

New Member

حالا هرکی

New Member