مسابقه ریاضی ((حل کنید !))

alich100 · 1391/3/16

پاسخ : مسابقه ریاضی ((حل کنید !))

احتمالا منظورتون این بوده:

$\sqrt{\sum_{i=1}^{n}a_{i}}\leq \sum_{i=1}^{n}\sqrt{i}(\sqrt{a_{i}}-\sqrt{a_{i+1}})$

درسته؟

Yousefi · 1391/3/16

پاسخ : مسابقه ریاضی ((حل کنید !))

ببخشید :9: بازم یه اشتباه تایپیه دیگه

این سوال دیگه درسته درسته ، غلط هم نداره !

می دانیم که :

$a_1 \geq a_2\geq a_3\geq ...\geq a_n\geq a_{n+1}=0$

و

$\left \{a_n \right \}$

دنباله ای از اعداد حقیقی است.

ثابت کنید که :

$\sqrt{\sum_{k=1}^{n}a_k}\leq \sum_{k=1}^{n}\sqrt{k}(\sqrt{a_k}-\sqrt{a_{k+1}})$

alich100 گفت

بله

happymoj · 1391/3/16

پاسخ : مسابقه ریاضی ((حل کنید !))

طرفین رو به توان برسونید با استفاده از نامساوی جلو آسون اثبات می شه

$1\leq (\sqrt{n}-\sqrt{n-1})^{2}+2(\sqrt{n}-\sqrt{n-1})(\sqrt{n-1}-\sqrt{n-2})+...$

اینم چون برای اعداد طبیعیه یه استقرای سادس

Yousefi · 1391/3/17

پاسخ : مسابقه ریاضی ((حل کنید !))

happymoj گفت

دنبال یه روش بهترم :57:

hkh74 · 1391/3/18

پاسخ : مسابقه ریاضی ((حل کنید !))

Yousefi گفت

$\sum_{k=1}^{n}\sqrt{k}(\sqrt{a_k}-\sqrt{a_{k+1}})\\=\sum_{k=1}^{n}{(\sqrt{k}-\sqrt{k-1})\sqrt{a_k}}\\\geq \frac{1}{\sqrt{n}}\sum_{k=1}^{n}{\sqrt{a_k}}\geq \sqrt{\sum_{k=1}^{n}{a_k}}$

تساوی اول و نامساوی آخر(مربعی-حسابی) واضحند.

برای اثبات اولین نامساوی: (اثبات هندسی)

مستطیل های

$R_1,R_2,\dots,R_n$

را با رأس های

$R_i:(\sqrt{i-1},0),(\sqrt{i},0),(\sqrt{i-1},\sqrt{a_i}),(\sqrt{i},\sqrt{a_i})$

(i=1,2,...,n) در نظر بگیرید. مساحت مستطیل k ام برابر است با

$(\sqrt{k}-\sqrt{k-1})\sqrt{a_k}$

. پس مجموع مساحت های این مستطیل های دو به دو جدا از هم برابر است با طرف چپ نامساوی.

مستطیل های

$S_1,S_2,\dots,S_n$

را با رأس های

$S_i:(\frac{i-1}{\sqrt{n}},0),(\frac{i}{\sqrt{n}},0),(\frac{i-1}{\sqrt{n}},\sqrt{a_i}),(\frac{i}{\sqrt{n}},\sqrt{a_i})$

(i=1,2,...,n) در نظر بگیرید. مساحت مستطیل k ام برابر است با

$\frac{1}{\sqrt{n}}(\sqrt{a_k})$

. پس مجموع مساحت های این مستطیل های دو به دو جدا از هم برابر است با طرف راست نامساوی.

حالا کافیه ثابت کنید مستطیل های

$R_1,R_2,\dots,R_n$

مستطیل های

$S_1,S_2,\dots,S_n$

رو میپوشونن... که اگر شکلش رو بکشید ایده ی اثبات این قسمت خیلی راحت به ذهن میرسه.

Yousefi · 1391/3/18

پاسخ : مسابقه ریاضی ((حل کنید !))

بسیار عالی بود، حالا من راه خودمو میگذارم : ( خودم که نه ! )

$b_k = \sqrt{a_k}-\sqrt{a_{k+1}} \Rightarrow a_k=(b_k+b_{k+1}+b_{k+2}+...+b_n)^2$

یه جورایی شبیه روش تغییر متغیره !

$\sum_{k=1}^{n}a_k=\sum_{k=1}^{n}(x_k+x_{k+1}+x_{k+2}+...+x_n)=\sum_{k=1}^{n}kx_{k}^{2}+2\sum_{1\leq i< j\leq n}ix_ix_j\leq \sum_{k=1}^{n}kx_{k}^{2}+2\sum_{1\leq i< j\leq n}\sqrt{ij}x_ix_j=(\sum_{k=1}^{n}\sqrt{k}x_k)^2.$

و حالا کافیه از دو طرف جذر بگیریم.

حالا یکی باید یه سوال بگذاره ، در ضمن به جناب hkh74 و alich100 هم امتیاز اضافه میشه.

POURIYA- F · 1391/3/18

پاسخ : مسابقه ریاضی ((حل کنید !))

آیا تابع کران دار

$f(x)$

وجود دارد به طوری که :

$f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$

$f(1)> 0$

$f^{2}(x+y)\geq f^{2}(x)+2f(xy)+f^{2}(y)$

* توجه کنید که

$f^2(x)=f(x)^2$

.

mehran88 · 1391/3/18

پاسخ : مسابقه ریاضی ((حل کنید !))

POURIYA- F گفت

یعنی یه تابع هم مثال بزنیم کافیه؟؟

f(x)=x .

alich100 · 1391/3/18

پاسخ : مسابقه ریاضی ((حل کنید !))

مستر/میس hkh74 آخرین نامساویتون اشتباهه
یعنی شما می گید:

$\frac{1}{\sqrt{n}}\sum \sqrt{a_{k}}\geq \sqrt{\sum a_{k}}$

قرار دهید:

$n=2,a_{1}=4,a_{2}=1$

داریم:

$\frac{1}{\sqrt{2}}(\sqrt{4}+\sqrt{1})\geq \sqrt{4+1}\rightarrow 20\leq 18$

!!!
تازه فک کنم همیشه این نامساوی برعکس باشه!!!
درسته؟

alich100 · 1391/3/18

پاسخ : مسابقه ریاضی ((حل کنید !))

منظورتون از

$f^2$

توانه یا

$fof$

؟

zz_torna2 · 1391/3/18

پاسخ : مسابقه ریاضی ((حل کنید !))

alich100 گفت

راست میگیا حواسم نبود اثبات گفته تون:

$f(x)=\sqrt{x}\Rightarrow f''({x})< 0$

حالا نامساوی ینسن میزنیم:

$\sqrt{\frac{a_{1}+...+a_{n}}{n}}\geq \frac{\sqrt{a_{1}}+...+\sqrt{a_{n}}}{n}\Rightarrow \sqrt{\sum_{k=1}^{n}a_{k}}\geq \frac{\sum_{k=1}^{n}\sqrt{a_{k}}}{\sqrt{n}}$

zz_torna2 · 1391/3/18

پاسخ : مسابقه ریاضی ((حل کنید !))

اصلا لازم نیست ینسن بزنیم .با نامساوی مربع-حسابی هم اثبات میشه!!:4:

POURIYA- F · 1391/3/18

پاسخ : مسابقه ریاضی ((حل کنید !))

POURIYA- F گفت

نه آقای شریفی شرط

$f^2(x)=f(x)^2$

تو صورت سوال نیست .
Russia All-Russian Olympiad 2005 • Art of Problem Solving

ولی کراندار رو دقت نکردم پس اثباتم غلطه. :93::93:

POURIYA- F · 1391/3/18

پاسخ : مسابقه ریاضی ((حل کنید !))

mehran88 گفت

در اون صورت این تابع کراندار نیست که !!!!

POURIYA- F · 1391/3/18

پاسخ : مسابقه ریاضی ((حل کنید !))

POURIYA- F گفت

ببخشید اشتباه شد اون دو تا عبارت با هم برابر است. یه لحظه فکر کردم توان طرف راست داخل پرانتزه :93:

zz_torna2 · 1391/3/18

پاسخ : مسابقه ریاضی ((حل کنید !))

سوال و جواب:
ثابت کنید:

$(\sqrt{k}-\sqrt{k-1})\sqrt{a_k}$

$\sum$

$\leq$

$\frac{1}{\sqrt{n}}(\sqrt{a_k})$

$\sum$

راه حل:

hkh74 گفت

alich100 · 1391/3/18

پاسخ : مسابقه ریاضی ((حل کنید !))

اثبات سوال

$\sum (\sqrt{k}-\sqrt{k-1})(\sqrt{a_{k}})\geq \frac{1}{\sqrt{n}}(\sum \sqrt{a_{k}})$

به یه شکل دیگه(البته به زیبایی اثبات hkh74 نمی رسه!)

طبق نامساوی چبیشف (متشابه الترتیب) داریم:

$\sum (\sqrt{k}-\sqrt{k-1})(\sqrt{a_{k}})\geq \frac{(\sum \sqrt{k}-\sqrt{k-1})(\sum \sqrt{a_{k}})}{n}=\frac{1}{\sqrt{n}}(\sum \sqrt{a_{k}})$

بهتره دیگه روی سوال آقای پوریا بفکریم!

mahanmath · 1391/3/18

پاسخ : مسابقه ریاضی ((حل کنید !))

hkh74 گفت

با این ایده معروف این مسئله رو هم حل کنید :
AoPS Forum - Problem 5, Iberoamerican Olympiad 2011 • Art of Problem Solving

یه مسئله تورنمت هم هست که اینطوری حل میشه ولی دقیق صورتش یادم نیست :71:

Yousefi · 1391/3/18

پاسخ : مسابقه ریاضی ((حل کنید !))

Yousefi گفت

چند تا سوال !؟
من که اثباتش کردم دیگه چرا این همه پست می زنید ؟
چرا zz_torna2 بجای hkh74 پست زدند ؟

zz_torna2 گفت

چرا POURIYA_F به آقای شریفی جواب دادن ؟؟؟ ایشون که اصلا پست نزدن!

mehran88 · 1391/3/18

پاسخ : مسابقه ریاضی ((حل کنید !))

Yousefi گفت

آقای یوسفی1
بهت قول میدم کارآگاه خوبی خواهی شد! سوالات خوبی میپرسی برای رسیدن به سرنخ!

سوال 1- فکر کنم جناب تورنا می خواستند سوال و جواب رو یه دفعه توی یه پست بذارن که بچه ها استفاده کنند.

سوال 2- اگه دقت کرده باشی آقای شریفی پست پوریا خان رو ویرایش کرده بودند که اقا پوریا هم یه پست خطاب به استاد زدند!

ولی من پلیس بهتری میشم قطعا!!

مسابقه ریاضی ((حل کنید !))

New Member

Well-Known Member

Active Member

Well-Known Member

New Member

Well-Known Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

Well-Known Member

New Member