مسابقه ریاضی ((حل کنید !))

alich100 · 1391/3/23

پاسخ : مسابقه ریاضی ((حل کنید !))

سوال بعد(فعلا از سوال آقای پوریا صرف نظر می کنیم)
تعداد نقاط صحیح داخل هاشور این شکل را حساب کنید:
دایره ها با هم برابر و شعاع آنها r است و بر محور ها مماسند
سوال نسبتا ساده ایست هر کی اینو حل کرد باید سوال بذاره!!!

Yousefi · 1391/3/23

پاسخ : مسابقه ریاضی ((حل کنید !))

مساحتش میشه

$4r^2-\pi r^2$

یه مربع در نظر میگیریم بعد 4 تا ربع دایره رو از توش کم می کنیم.
اگه فاکتور بگیریم میشه :

$(4-\pi)r^2$

alich100 · 1391/3/23

پاسخ : مسابقه ریاضی ((حل کنید !))

سوال اینه:
تعداد نقاط با مختصاتx و y صحیح داخل اون نه مساحت
سوال:

alich100 · 1391/3/23

پاسخ : مسابقه ریاضی ((حل کنید !))

راهنمایی: از مسئله گاوس استفاده کنید(در ویکی پدیا موجوده)
البته اول باید اونو تعمیم بدید بعد!
تذکر: r ممکن است صحیح نباشد

Yousefi · 1391/3/23

پاسخ : مسابقه ریاضی ((حل کنید !))

خب مسئله گاوس رو که میشه :

و با توجه به این شکل :

میدونیم که تعداد نقاط درون مربع میشه :

$\left[2r \right]^2$

و اون چهار تا ربع دایره هم که تعداد نقاطشون میشه همون اندازه یه دایره که میشه :

حالا اگه دایره رو از مربع کم کنیم میشه اون قسمت رنگی :

$\left[2r \right]^2-1+4\sum_{i=1}^{\infty}(\left[\frac{r^2}{4i-1} \right]-\left[\frac{r^2}{4i+3} \right])$

ویرایش : " یادم رفت تهش

$-2\left[2r \right$

رو بنویسم"

alich100 · 1391/3/23

پاسخ : مسابقه ریاضی ((حل کنید !))

اشتباه است
مسئله گاوس برای حالتی است که مرکز دایره روی نقطه ای با مختصات صحیح باشد
اما r ممکن است صحیح نباشد

alich100 · 1391/3/25

پاسخ : مسابقه ریاضی ((حل کنید !))

آقا چی شد؟
کسی حل نکرد
راهنمایی برای تعمیم مسئله گاوس (در ویکی هست):
3 حالت را بررسی کنید مختصه های مرکز هردو صحیح اند هیچکدوم صحیح نیستند و یکی صحیح است و دیگری صحیح نیست
فرض کنید مرکز

$(a,b)$

باشد ما حالتی را حساب می کنیم که هیچکدوم صحیح نیستند (این حالت سختترین است)
باید x و y های صحیحی بیابیم که در این نامعادله صدق می کنند:

$(y-b)^2+(x-a)^2\leq r^2\rightarrow -\sqrt{r^2-(x-a)^2}+b \leq y\leq \sqrt{r^2-(x-a)^2} +b$

خب ما جواب را برای یک ربع حساب می کنیم مثلا ربع بالا راست و سپس ضربدر 4 می کنیم دقت کنید که a و b صحیح نیستند
پس داریم:

$\left \lceil b \right \rceil \leq y\leq \left \lfloor b+r \right \rfloor,\left \lceil a \right \rceil \leq x\leq \left \lfloor a+r \right \rfloor$

حال x را عدد به عدد امتحان می کنیم و تعداد y ها را با هم جمع می کنیم
یعنی :

$-\sqrt{r^2-(x-a)^2}+b \leq \left \lceil b \right \rceil\rightarrow \left \lceil b \right \rceil\leq y\leq \sqrt{r^2-(x-a)^2} +b$

$x=\left \lceil a \right \rceil\rightarrow y\in [\left \lceil b \right \rceil,\sqrt{r^2-(\left \lceil a \right \rceil-a)^2} +b ]$

$x=\left \lceil a \right \rceil+1\rightarrow y\in [\left \lceil b \right \rceil,\sqrt{r^2-(\left \lceil a \right \rceil+1-a)^2} +b ]$

.
.
.

$x=\left \lfloor a+r \right \rfloor\rightarrow y\in [\left \lceil b \right \rceil,\sqrt{r^2-(\left \lfloor a+r \right \rfloor-a)^2} +b ]$

پس تعداد y ها برابر همان هاست
یعنی :

$S=\sum_{k=\left \lceil a \right \rceil}^{\left \lfloor a+r \right \rfloor}(\sqrt{r^2-(k-a)^2} +b -\left \lceil b \right \rceil+1)$

پس

$S_{main}=4S=4\sum_{k=\left \lceil a \right \rceil}^{\left \lfloor a+r \right \rfloor}(\sqrt{r^2-(k-a)^2} +b -\left \lceil b \right \rceil+1)$

دیگه فک کنم سوالم بسیار ساده شد:

Yousefi · 1391/3/29

پاسخ : مسابقه ریاضی ((حل کنید !))

آقای alich100 ، من سوادم به این حرفا نمیرسه، خودت حل کن خیال ما رو راحت کن :45:
تا یه سوال راحت بذارم، همه حال بیان !
در ضمن طبق قوانینی که توی اولین پست این تاپیک وضع شده ، اگه یه سوال بیش از یک هفته خاک بخوره، خود طراح سوال باید جواب بده و از همه 1 امتیاز کسر میشه :دی

alich100 · 1391/3/29

پاسخ : مسابقه ریاضی ((حل کنید !))

حال ندارم جوابو بنویسم با استفاده از همونی که نوشتم و اصل شمول و عدم شمول! به سادگی حل میشه البته دو حالت باید بررسی شه r صحیح یا r غیر صحیح
شما سوالتونو بذارید

math · 1391/3/29

پاسخ : مسابقه ریاضی ((حل کنید !))

نمیدونم میشه الن سوال گذاشت یا نه ولی خوب من یدونه میذارم اخه سوال قبلیه خیلی خاک خوردش :3:

اگر

و حقیقی باشند و داشته بباشیم

ثابت کنید

خواهشا با مشتق و .... نریدراه حل خیلی قشنگی داره

math · 1391/3/29

پاسخ : مسابقه ریاضی ((حل کنید !))

mathh گفت

ععععععععععع چه قدر راه حل !!!!!! :4:اگر همین طوری استقبال بشه میشه سوالات open هم مطرح کنیم با این همه پیگری بالاخره حل میشه :4:

من یک راه حل میذارم اما راه حل های بیشتری هم داره

داریم

اگر

$xy=0$

باشد مساله درست است

پس فرض میکنیم

$xy=1$

پس

حالا باید مینیمم

را در

پیدا کنیم

صعودی است

پس

برای

که درست بودنش هم بدیهیه!!!!!

alich100 · 1391/3/29

پاسخ : مسابقه ریاضی ((حل کنید !))

این دیگه چه راه حلیه من یه راه حل سالم میذارم!!!
داریم:

$x=1+m,y=1-m,-1\leq m\leq 1\rightarrow x^2y^2(x^2+y^2)=2(1-m^4)(1-m^2)\leq 2$

که بدیهیه چون m^2k بین 0 و 1 است!
راستی خودت قبل از ویرایش نوشته بودی از راه تابع صعودی و مشتق و .. نرید بعد تابع صعودیشو پاک کردی خودت از اون راه رفتی؟@!!!!!!!!!!!!!!!

Yousefi · 1391/3/29

پاسخ : مسابقه ریاضی ((حل کنید !))

mathh گفت

$x^2y^2(x^2+y^2)\Rightarrow Tamime\:etehade\:moraba\:do\:jomleii\Rightarrow x^2y^2((x+y)^2-2xy)=x^2y^2(4-2xy)=4x^2y^2-2x^3y^3=2(2x^2y^2-x^3y^3)$

حال توی نامساوی جایگزین میکنیم :

$2(2x^2y^2-x^3y^3)\leq 2 \Rightarrow 2x^2y^2-x^3y^3\leq 1$

و اینجاش هم که دیگه به راحتی اثبات میشه

Yousefi · 1391/3/29

پاسخ : مسابقه ریاضی ((حل کنید !))

حالا سوال بعدی رو من می پرسم :

چند عدد بین 100 تا 400 وجود داره که بر 3 بخش پذیر باشد و بر 7 بخش پذیر نباشد یا بر 7 بخش پذیر باشد و بر 3 بخش پذیر نباشد؟

"نگید سوال خیلی سادست، اینو گذاشتم که خاک نخوره :دی"

graph · 1391/3/29

پاسخ : مسابقه ریاضی ((حل کنید !))

Yousefi گفت

خب اخه خیلی ساده اس ادم حیفش میاد برا این سوال تایپ کنهشما که دست به مسیله ات خوبه چند تا ترکیبیات و گراف بزار جیگرمون حال بیاد

crazyboy · 1391/3/29

پاسخ : مسابقه ریاضی ((حل کنید !))

Yousefi گفت

من میگم حالا :4:
[299/7]
-[299/21]
+[299/3]
-[299/21]

smh-s.salehi · 1391/3/29

پاسخ : مسابقه ریاضی ((حل کنید !))

حالا که سوال قبلی جواب داده شد یک سوال قشنگ تر:
ثابت کنید بر روی هر خم بسته یک متوازی الاضاع داریم!
(نکته : خم بسته به طور خودمونی یعنی شکلی که بدون برداشتن مداد کشیده می شه و بسته است (مفهوم شکل باز وبسته برای اول ابتدایه!))
مثلا شکل زیر رو ببینید:
http://cli.comlu.com/photos/8ea2e8463760.jpg

mahanmath · 1391/3/29

پاسخ : مسابقه ریاضی ((حل کنید !))

mathh گفت

$x^2 y^2 (x^2 +y^2) =\frac{1}{2} (xy)(2xy)(x^2 +y^2) \\ \leq \frac{xy}{2} \left (\frac{2xy+(x^2 +y^2)}{2} \right )^2 = \frac{xy}{2} \left (\frac{(x+y)^2}{2} \right )^2 \leq \frac{\frac{(x+y)^2}{4}}{2} \left (\frac{(x+y)^2}{2} \right )^2 \\ =2$

math · 1391/3/30

پاسخ : مسابقه ریاضی ((حل کنید !))

smh-s.salehi گفت

من اگر جوب نزده باشم (البته همیشه میزنم):4: با قضیه مینکوفسکی بشه یک مشبکه درست کنید و....

در ضمن توی سوال قبل هم گذاشتم اول گفتم با مشتق و تابع صعودی و ... نرید بعد دیدم را حل تابع صعودیش خیلی قشنگ تر از بقیه راه حل هاشه برای همین گفتم خودم بذارم که زیر حرفم هم نزده باشم:4:

این هم یک راه حل دیگه برای سوال قبل :

فرض کنید

پس داریم

میدانیم

پس

math · 1391/3/30

پاسخ : مسابقه ریاضی ((حل کنید !))

alich100 گفت

سوال قبل هم گذاشتم اول گفتم با مشتق و تابع صعودی و ... نرید بعد دیدم را حل تابع صعودیش خیلی قشنگ تر از بقیه راه حل هاشه برای همین گفتم خودم بذارم که زیر حرفم هم نزده باشم:4:

این هم یک راه حل دیگه برای سوال قبل :

فرض کنید

پس داریم

میدانیم

پس

مسابقه ریاضی ((حل کنید !))

New Member

Well-Known Member

New Member

New Member

Well-Known Member

New Member

New Member

Well-Known Member

New Member

New Member

New Member

New Member

Well-Known Member

Well-Known Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member