مسابقه ریاضی ((حل کنید !))

Aref · 1391/4/1

پاسخ : مسابقه ریاضی ((حل کنید !))

hkh74 گفت

گفت

$\leadsto$

گفتن
:4:
سوال بعدی:
فرض کنید

$m,n$

دو عدد طبیعی باشند که داشته باشیم:

$n\le 2m$

و

$2^{2m+2}+2^{n+2}+1$

مربع کامل باشد. ثابت کنید

$m=n$

hkh74 · 1391/4/1

پاسخ : مسابقه ریاضی ((حل کنید !))

Aref گفت

اگر n<m عبارت رو بین دو مربع کامل

$(2^{m+1})^2,(2^{m+1}+1)^2$

قرار میدیم.
اگر n=m که مسأله حل شده.
اگر n>m بود:

$2^{2m+2}+2^{n+2}+1=k^2\Leftrightarrow (\frac{k-1}{2})(\frac{k+1}{2})=2^{2m}+2^n$

اگر

$t=\frac{k-1}{2}$

:

$n\geq m+1\Rightarrow 2^{m+1}|2^{2m}+2^n=t(t+1)$

که چون یکی از t و t+1 فرده دو حالت پیش میاد و هر دو حالت نقض میشه:

$\begin{cases} 2^{m+1}|t\Rightarrow t\geq 2^{m+1} \\ 2^{m+1}|t+1\Rightarrow t\geq 2^{m+1}-1 \end{cases} \\ \Rightarrow t\geq 2^{m+1}-1\Rightarrow t(t+1)\geq 2^{2m+2}-2^{m+1}>2^{2m}+2^n$

ash1374 · 1391/4/1

پاسخ : مسابقه ریاضی ((حل کنید !))

چقدر این تاپیک فعال شد ناگهان
سوال بعدی:
تعدادی نفر 40 جلسه ی ده نفری تشکیل داده اند که هیچ دونفری در بیش از یک جلسه با هم نبوده اند. ثابت کنید این افراد حداقل 81 نفرند.

math · 1391/4/1

پاسخ : مسابقه ریاضی ((حل کنید !))

ash1374 گفت

اخه نتایج مرحله دو اومده و امتحانات هم تموم شده
راه من:
اگر 80 نفر باشند چون ما به 400 نفر نیاز داریم پس حداقل در 5 جلسه شرکت کرده است از اونجایی که داریم

$4=2\times 2< 5$

پس حداقل دو نفر در دو جلسه باهم بودن پس تناقض

مثال زدن هم برای 81 بسیار راحت است !!!!!

math · 1391/4/1

پاسخ : مسابقه ریاضی ((حل کنید !))

سوال بعد :
اعداد صحیحه

$a,b,c$

اگر

:

چ

ثابت کنید

$\left | d \right |$

عدد اول نیست !!!!

ash1374 · 1391/4/1

پاسخ : مسابقه ریاضی ((حل کنید !))

mathh گفت

از اینکه یک نفر وجود داره که حداقل در 5 جلسه شرکت کرده چطور به تناقض رسیدی؟ من نفهمیدم((

$4=2\times 2< 5$

)) چیه!

ash1374 · 1391/4/1

پاسخ : مسابقه ریاضی ((حل کنید !))

mathh گفت

d زوجه. پس اگه اول باشه 2ه(یا -2 خیلی فرقی نداره)از طرفی

$a|b+c\Rightarrow a|d\Rightarrow a|2$

به طور مشابه برای bوc هم همین رو باید داشته باشیم. با یه حالت بندی ساده به نتاقض میرسیم.

پ.ن : سوال قبلی هنوز حل نشده.

alich100 · 1391/4/1

پاسخ : مسابقه ریاضی ((حل کنید !))

فک کنم اینجوری حل شه:
ابتدا قرار می دهیم

$n=1433,a+b=-c\rightarrow d=a^n+b^n-(a+b)^n\rightarrow ab\mid d$

حال واضح است که d اول نیست ولی :

$a=1,b\in prime ,b=p\rightarrow d=p(\binom{n}{1}1+\binom{n}{2}p+...+\binom{n}{n-1}p^{n-1}),n=1433\rightarrow d=pk,k> 1\rightarrow d\notin prime$

حال تنها حالتی که مانده این است که

$a=b=1,c=-2\rightarrow 2\mid d,d> 2\rightarrow d\notin prime$

و کار تمام است!

کدوم سوال قبلی حل نشده ترکیبیاتیه؟

hkh74 · 1391/4/1

پاسخ : مسابقه ریاضی ((حل کنید !))

mathh گفت

1433 عدد اوله، اگر مقدار c رو (از تساوی اول) در تساوی دوم جاگذاری کنیم:

$-d=(a+b)^{1433}-a^{1433}-b^{1433}\equiv a+b-a-b\equiv 0 \mod{1433}$

پس d بر 1433 بخشپذیره، همچنین d زوجه پس |d| اول نیست.

{ببخشید هم زمان ارسال شد}

Aref · 1391/4/1

پاسخ : مسابقه ریاضی ((حل کنید !))

ash1374 گفت

راهنمایی:
فرض کنید

$n$

نفر شرکت کرده اند و نفر

$k$

ام در

$a_k$

جلسه حضور داشته باشد. حالا یک گزاره در رابطه با فرض های مساله بیان کنید و از نامساوی کوشی شوارتز استفاده کنید.

mahanmath · 1391/4/2

پاسخ : مسابقه ریاضی ((حل کنید !))

mathh گفت

البته وقت این سوال ۲۰ دقیقه بوده فقط ، با توجه به استرس امتحان و نوشتن راه حل ، به نظرم سوال ساده‌ای تو امتحان نیست .
واسه من سوال خاطره انگیزیه :98:، اولین سوالیه که از تو Mathlinks پیدا کردم و حل کردم (نوستالژیک !)

مثل اینکه سوال‌های قبلی‌ حل شده ، پس اینم یه سوال جدید :

$a,b,c \in \mathbb R \; ,\; a^2 + b^2 +c^2 =9 \Rightarrow \boxed{3 \min\left \{ a,b,c \right \} \leq abc +1}$

math · 1391/4/2

پاسخ : مسابقه ریاضی ((حل کنید !))

باتوجه به فرض داریم

$a,b,c\in \left [ -3,3 \right ]$

حال فرض کنیم

$a$

مینیمم باشه

حالا بایک خط بازی ساده حل میشه(البته به احتمال زیاد جوب زدم )
درسته؟؟؟

سوال بعد :

ثابت کنید بینهایت زوج a,n وجود دارد به طوری که

$(a^{2}+1,n^{2}+1)=1$

:217:

smh-s.salehi · 1391/4/2

پاسخ : مسابقه ریاضی ((حل کنید !))

خوب a را برابر n^2+1بگذازید
نکنه من سوال را اشتباه فهمیدم؟

math · 1391/4/2

پاسخ : مسابقه ریاضی ((حل کنید !))

smh-s.salehi گفت

نه درست متوجه شدید درست است !!!!!

سوال بعد :

ثابت کنید بی نهایت عدد به شکل

$n^{2}+1$

وجود دارد که عاملی به شکل

$k^{2}+1$

به جز خودش و یک ندارد !!!!!!(خلاقیت سوال 8 سال 89):66:

mahanmath · 1391/4/2

پاسخ : مسابقه ریاضی ((حل کنید !))

mathh گفت

معلومه غلطه :87: ،چون تساویش روی ۲ سر بازه نیست .(این اتفاق هم به خاطر این می‌افته که نابرابری متقارن نیست :98:!)

ash1374 · 1391/4/2

پاسخ : مسابقه ریاضی ((حل کنید !))

mahanmath گفت

سلام. ببخشید یکم خلاصه می نویسم.

فرض کنید

$a\geqslant b\geqslant c$

. مسئله رو در چهار حالت حالتبندی می کنیم:

الف)

$c\geqslant 0$

ب)

$c\leqslant 0,b\leqslant 0,a\geqslant 0$

ج)

$c\leqslant 0,b\leqslant 0,a\leqslant 0$

د)

$c\leqslant 0,b\geqslant 0,a\geqslant 0$

درستی حکم در حالت ب بدیهی است. سه حالت دیگر اثبات مشابه ی دارند. فرض کنید c ثابت است. باید ببینیم برای چه aوb که

$a^{2}+b^{2}$

ثابت است abc مینمم می شود. بعد در همان حالت مسئله را حل کنیم کافیست. مثلا در حالت الف چون c مثبت است وقتی abc مینمم است که ab مینمم باشد و چون

$a^{2}+b^{2}$

ثابت است لذا باید aوb بیشترین فاصله را داشته باشند. لذا b=c مینمم حالت برای abc را می دهد. با قرار دادن

$b=c$

ادامه ی مسئله با یه حسابی هندسی تمام میشه.

اثبات مسئله در حالت های دیگر نیز مشابه است. فقط حالت مینمم ها برای aوb های دیگری اتفاق می افتد.

smh-s.salehi · 1391/4/2

پاسخ : مسابقه ریاضی ((حل کنید !))

mathh گفت

فرض کنیدn ای وجود داشته باشد که به ازای هرk بزرگتر مساویk^2+1,nمقسوم علیهی به همین فرم داشته باشد،به راحتی ثابت می شود که K^2+1 مقسوم علیهی به همین فرم وکمتر از nدارد .حال kرا برابر(2^1+1)(2^2+1)...(n^2+1)قرار دهید و به تناقض برسید(کمتر از n بودن). در نتیجه هیچ nای با این خاصیت وجود نداردو تعداد این اعداد نامتناهی است.

math · 1391/4/3

پاسخ : مسابقه ریاضی ((حل کنید !))

خوب همش من دارم سوال میزارم !!!!!

سوال بعد :

ثابت کنید:

$f_{n}\mid f_{m}\Leftrightarrow n\mid m$

,

$gcd(f_{m},f_{n})=f_{gcd(m,n)}$

که داریم

$f(n)=\left\{\begin{matrix} 1\Leftrightarrow n=1,2\\ f_{n-1}+f_{n-2}\Leftrightarrow n\geq 3\\ \end{matrix}\right.$

همون فیبوناچی:4:

MBGO · 1391/4/3

پاسخ : مسابقه ریاضی ((حل کنید !))

این سوال تکراریه...هم توی ترکیبیات علیپور هست هم تئوری اعداد صفا.

math · 1391/4/4

پاسخ : مسابقه ریاضی ((حل کنید !))

mahanbabol گفت

من یک سوال گذاشتم برای حل کردن شما هر سوالی که بذاری برای یک عده ای تکراری میشه توی اینجا هم همه سوال هاتکراری بوده از همون اول(که در 2000 تست هست) تا این اواخر که یا توی کتاب استاد علیپور بوده یا خلاقیت بوده یا....

پس بهتر تمام سوال ها حل بشه !!!!!:53:

اگر هم به این باشه هم در کتاب پرفسور میرزا خانی است هم در ptc هم در....

مسابقه ریاضی ((حل کنید !))

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member