سوال هندسه انعکاس
پاسخ : سوال هندسه انعکاس
سلام.
فکر میکنم همونطور که آقای alimath گفتن محاسبه ی مستقیمAQوAP راحت تر به جواب برسه. به هر حال من راهم رو میذارم.
فکر میکنم همونطور که آقای alimath گفتن محاسبه ی مستقیمAQوAP راحت تر به جواب برسه. به هر حال من راهم رو میذارم.
انعکاس: به فصل هفت کتاب استاد احمدپور مراجعه کنید.
انعکاس معکوس در مثلث ABC به مرکز A:ترکیب یک تبدیل انعکاس به مرکز Aو ضریب AB.AC و یک تبدیل تقارن نسبت به نیمساز زاویه ی BAC. این تبدیل کلا خیلی باحاله. خیلی اشیاء هندسی خوب رو به خیلی اشیاء خوب دیگه میبره. مثلا Bرو به C میبره و بالعکس. یا I رو به Iaمیبره. یا کمان BC رو به پاره خط BC میبره و...
حل: به مرکز A انعکاس معکوس میزنیم. کافیه ثابت کنیم P به Q میره. چون در این صورت AP.AQ=AB.AC و مسئله ثابت میشه. باید ببینیم P کجا میره. اگر ABرو به قدر خودش امتداد بدیم تا به K برسیم واضحه که Nبه K میره. I هم که به Iaمیره.پس خط NI به دایره محیطی KAIaمیره. پس P که محل برخورد خط NI به خط AB بود به محل برخورد این دایره با AC میره. پس برا اینکه بگیم Pبه Q رفته باید بگیم محل برخورد دایره محیطی AKIa با AC همون Qه. یعنی اگه مثلا محل برخورد این دایره با ACرو Q بگیریم باید ثابت کنیم MوIوQ همخطند.
فرض کنید BIضلعACرو تو D قطع کنه. تو مثلث ABD برای برای سه نقطه ی MوIوQ رابطه ی منلائوس اگه برقرار باشه مسئله حله. از اونجا که Mوسط AB هست رابطه ی منلائوس به این تبدیل میشه که
DI/IB=QD/QA
محاسبه ی سمت چپ تساوی بالا که خیلی آسونه. چون DI/IB=AD/AB=b/(a+c)
سمت راست یکم نا متعارفه. مشکل محاسبه یAQهستش. کافیه تو محاطیه AKIaQ یه بطلمیوس بنویسیم.دقت کنیدمثلث IaKQ مثلثی متساوی الساقین با زاویه راس 120 هست. پس:
از طرفی DQ=AQ-AD و طول AD هم که bc/(a+c)هست. پسDQ هم بدست می آد. فقط باید Aiaرو حساب کنیم که همه چی بر حسب اضلاع بشه.
از طرفی می دونیم در هر مثلث AIa=p.Cos(A/2) که P نصف محیطهپس تو این سوال به جای
همون 2p یعنی a+b+c میذاریم. حالا اگه اینایی رو که حساب کردیم بذاریم تو رابطه ای که قرار بود ثابت شه، به رابطه ی کسینوس ها تو abc میرسیم و اثبات تمامه.
چون تقریبا با تمام جزییات اثبات رو نوشتم یکم طولانی شد. ولی واقعا ایده ی اصلی مسئله همون دو کلمه بود که تو پست قبلی نوشتم .انعکاس+منلائوس
. بقیش خرکاری های کاملا متعارف و منطقی بود.
انعکاس معکوس در مثلث ABC به مرکز A:ترکیب یک تبدیل انعکاس به مرکز Aو ضریب AB.AC و یک تبدیل تقارن نسبت به نیمساز زاویه ی BAC. این تبدیل کلا خیلی باحاله. خیلی اشیاء هندسی خوب رو به خیلی اشیاء خوب دیگه میبره. مثلا Bرو به C میبره و بالعکس. یا I رو به Iaمیبره. یا کمان BC رو به پاره خط BC میبره و...
حل: به مرکز A انعکاس معکوس میزنیم. کافیه ثابت کنیم P به Q میره. چون در این صورت AP.AQ=AB.AC و مسئله ثابت میشه. باید ببینیم P کجا میره. اگر ABرو به قدر خودش امتداد بدیم تا به K برسیم واضحه که Nبه K میره. I هم که به Iaمیره.پس خط NI به دایره محیطی KAIaمیره. پس P که محل برخورد خط NI به خط AB بود به محل برخورد این دایره با AC میره. پس برا اینکه بگیم Pبه Q رفته باید بگیم محل برخورد دایره محیطی AKIa با AC همون Qه. یعنی اگه مثلا محل برخورد این دایره با ACرو Q بگیریم باید ثابت کنیم MوIوQ همخطند.
فرض کنید BIضلعACرو تو D قطع کنه. تو مثلث ABD برای برای سه نقطه ی MوIوQ رابطه ی منلائوس اگه برقرار باشه مسئله حله. از اونجا که Mوسط AB هست رابطه ی منلائوس به این تبدیل میشه که
DI/IB=QD/QA
محاسبه ی سمت چپ تساوی بالا که خیلی آسونه. چون DI/IB=AD/AB=b/(a+c)
سمت راست یکم نا متعارفه. مشکل محاسبه یAQهستش. کافیه تو محاطیه AKIaQ یه بطلمیوس بنویسیم.دقت کنیدمثلث IaKQ مثلثی متساوی الساقین با زاویه راس 120 هست. پس:
از طرفی DQ=AQ-AD و طول AD هم که bc/(a+c)هست. پسDQ هم بدست می آد. فقط باید Aiaرو حساب کنیم که همه چی بر حسب اضلاع بشه.
از طرفی می دونیم در هر مثلث AIa=p.Cos(A/2) که P نصف محیطهپس تو این سوال به جای
چون تقریبا با تمام جزییات اثبات رو نوشتم یکم طولانی شد. ولی واقعا ایده ی اصلی مسئله همون دو کلمه بود که تو پست قبلی نوشتم .انعکاس+منلائوس
. بقیش خرکاری های کاملا متعارف و منطقی بود.
آخرین ویرایش توسط مدیر