پاسخ : ماراتن المپیاد ریاضی- کاری از دوره طلا
سوال:
در مثلث حاده الزاویه داریم . دوایر محیطی اضلاع رو به ترتیب برای بار دوم در قطع میکنند . ثابت کنید مرکز دایره محیطی روی خط اویلر قرار دارد .
( مرکز ارتفاعی)
جواب:
چون محاسبات در بعضی موارد طولانی بود اینجا ننوشتم. اگر کسی خواست بگه...
پاسخ : مسابقه تورنومنت شهرها 2012
جواب سوال 3 (جبر) :
فرض کنید و ها ( ) جواب های معادله ی باشند. توجه کنید که مسئله حاصل را می خواهد.
اگر جواب معادله باشد، آنگاه هم جوابی از معادله ی بالا است(از دو طرف f بگیرید). همچنین ها متمایزند، زیرا اگر دو تا برابر باشند، آنگاه با f گرفتن از دو...
پاسخ : معادله تابع
اشکالی در صورت این سوال هست که در اینجا در موردش بحث شده: AoPS Forum - maybe hard functional equation • Art of Problem Solving
و صورت اصلی سوال به ظاهر اینه: AoPS Forum - Another problem! • Art of Problem Solving
پاسخ : دو نابرابری
راه حل اولی با حسابی-هندسی (البته از کوشی هم استفاده ی کوچکی شده):
که در نامساوی آخر سه بار از کوشی استفاده شده.
راه دومی:
این هم مثل قبلیست.
پاسخ : ماراتن المپیاد ریاضی- کاری از دوره طلا
اول از همه یک تشکر بابت این ماراتن...
راه حل کمی کامل تر:
چون جواب جواب را نتیجه می دهد، می توانیم فرض کنیم . (اگر دو طرف را در ضرب کنیم و از استفاده کنیم، از یک جواب به جواب دیگر می رسیم)
چون حالت m=n تنها به جواب های می رسد، فرض می کنیم...
پاسخ : سوال از کتاب نظریه اعداد فاطمی
راهنمایی این سوال در انتهای کتاب آمده.
راه حل:
مجموعه ی رو برابر مجموعه ی مقسوم علیه های مثبت n در نظر می گیریم (اگر مقسوم علیه های منفی هم مد نظر سوال باشد، سوال غلط است، مثلا ).
به وضوح: پس طبق فرض: و باز هم طبق فرض: . با ادامه ی این روند می توان...
عددی مفروض است. ثابت کنید هیچ چندجمله ای مثل وجود ندارد که برای هر داشته باشیم:
(تابع همان حاصل جمع ارقام عدد طبیعی n است)
البته شاید این سوال تعمیم بهتری هم داشته باشه (چون این سوال اتفاقی به ذهنم رسید گفتم شاید تعمیمی داشته باشه)
پاسخ : تفریح ترکیبیاتی
ممنون. جوابم غلط بود.
اما یه مشکلی دارم. شما قبول دارین تابعی که گفتم پوشاست؟ (البته روی مجموعه ی خطوط صفحه منهای خطوطی که از مرکز می گذرند)
چون یک نقطه باقی مونده و بینهایت خط، نمیشه گفت چنین تابعی وجود نداره؟
پاسخ : بررسی سوالات سی امین المپیاد ریاضی - 1390 (فقط در این تاپیک)
خواهش دارم در خوندن سوال خوب دقت کنید. a,b,c رو جدا از هم در نظر می گیریم. گزینه ی (ج) و (د) برابر تهی می شوند.
مجموعه ی اعضایی هم که دست کم عضو دو تا از این مجموعه ها هستند، تهی میشه (واضحه چون هیچ عضوی در دو تا نیامده)...
پاسخ : تفریح ترکیبیاتی
یک دایره ی دلخواه در صفحه در نظر بگیرید. f هر نقطه رو برابر قطبی اون نقطه نسبت به دایره قرار بدید.
تابع هم پوشاست، هم یک به یک. و هر سه نقطه ی همخط قطبی هاشون همرسند.
جواب درسته؟
پاسخ : بررسی سوالات سی امین المپیاد ریاضی - 1390 (فقط در این تاپیک)
اگر مهره ها را متفاوت در نظر بگیریم جواب شما درسته.
اما به نظر من مهره ها یکسانند و جواب 24 است.