اثبات چند نامعادله

[alijooon]

با سلام خدمت شما دوستان عزیز

قسمت 1 را اثبات کتید.
با استفاده از قسمت 1، قسمت های 2 و 3 را ثابت کنید.(aوbوc هر سه عضو مجموعه اعداد حقیقی هستند.)
قسمت1:
ab≤(a^2+b^2)/2
قسمت2:
ab+ac+bc≤a^2+b^2+c^2
قسمت3:
abc(a+b+c)≤a^4+b^4+c^4
​

خواهشا حلش کنید.

 

[J.Karimi]

پاسخ : اثبات چند نامعادله

تو اولی و دومی طرفین رو در دو ضرب کنین بعد ببریم یه طرف مربع کامل بسازیم سومی هم همان دومی میشه یعنی
متغیر ها رو تو نامعادله دومی بذاریم خود بخود
ثابت میشه

 

[alijooon]

پاسخ : اثبات چند نامعادله

داداش دستت درد نکنه
ولی می شه راه حل رو بنویسی؟؟
جون من بنویس:1::1::1:

 

[J.Karimi]

پاسخ : اثبات چند نامعادله

a^2+b^2≥2ab⇔a^2+b^2_2ab=(a+b)^2≥0


2a^2+2b^2+2c^2≥2ab+2bc+2ca⇔(a_b)^2+(b_c)^2+(c_a)^2≥0

اینا اولی و دومی بودن واسه سومی هم با استفاده از رابطه دوم داریم

a^4+b^4+c^4≥a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2≥a^2cb+b^2ac+c^2ba