اصل اکسترمال
خب این سوالا به نظر من نسبتا سختن. البته همون طور که میتونین اکسترمال من در حد تیم ملی گنده!
1. 9 شکل مسطحه داریم که مساحت هر کدام 1 است. آنها را طوری در صفحه قرار داده ایم که مساحت شکل حاصل 5 شده است.ثابت کنید 2 شکل وجود دارد که اشتراک مساحتشان بزرگتر یا مساوی 1/2 است.
2. ماشینی در مسیر دایره ای قرار دارد.مقداری بنزین به طور ناهمگن در مسیر ریخته شده است.(ممکن است در نقطه هایی از مسیر اصلا بنزینی وجود نداشته باشد.)باک ماشین در ابتدا خالی است.ماشین از هر نقطه ای از مسیر عبور کند تمام بنزین آن نقطه را در باک خود جمع می کند.اگر کل بنزین ها را جمع کنیم دقیقا به اندازه ی یک دور ماشین است.ثابت کنید نقطه ای در مسیر وجود دارد که اگر از آن نقطه شروع به حرکت کند می تواند دقیقا 1 دور مسیر را بپیماید.
1. 9 شکل مسطحه داریم که مساحت هر کدام 1 است. آنها را طوری در صفحه قرار داده ایم که مساحت شکل حاصل 5 شده است.ثابت کنید 2 شکل وجود دارد که اشتراک مساحتشان بزرگتر یا مساوی 1/2 است.
2. ماشینی در مسیر دایره ای قرار دارد.مقداری بنزین به طور ناهمگن در مسیر ریخته شده است.(ممکن است در نقطه هایی از مسیر اصلا بنزینی وجود نداشته باشد.)باک ماشین در ابتدا خالی است.ماشین از هر نقطه ای از مسیر عبور کند تمام بنزین آن نقطه را در باک خود جمع می کند.اگر کل بنزین ها را جمع کنیم دقیقا به اندازه ی یک دور ماشین است.ثابت کنید نقطه ای در مسیر وجود دارد که اگر از آن نقطه شروع به حرکت کند می تواند دقیقا 1 دور مسیر را بپیماید.
- ارسال ها
- 2,239
- لایک ها
- 166
- امتیاز
- 0
جوابها:
1. فرض کنید هر دو شکل دلخواه اشتراکی کمتر از 1/2 داشته باشند. بنابراین اولین شکل 1 واحد را به طور کامل می پوشاند. دومین شکل بیش از
مساحت باقی مانده را می پوشاند. همین قضیه برای 7 شکل باقی مانده نیز اتفاق می افتد. یعنی اگر مساحت پوشیده شده را با S نشان دهیم داریم:
در حالی که مساحت پوشیده شده 5 است و نه بزرگتر از 5. با توجه به تناقض به دست آمده حکم ثابت است.
2.این مسئله بسیار معروف المپیاد ریاضی اسپانیا 1997 است و به راحتی با استقرا حل می شود.
کجاش سخت بود؟
2 دقیقه هم وقت نگرفت.
1. فرض کنید هر دو شکل دلخواه اشتراکی کمتر از 1/2 داشته باشند. بنابراین اولین شکل 1 واحد را به طور کامل می پوشاند. دومین شکل بیش از
2.این مسئله بسیار معروف المپیاد ریاضی اسپانیا 1997 است و به راحتی با استقرا حل می شود.
کجاش سخت بود؟
2 دقیقه هم وقت نگرفت.
- ارسال ها
- 2,239
- لایک ها
- 166
- امتیاز
- 0
اول ببخشید که اینقدر دیر جواب میدم
حالا سوال 2: راه استقرایی که خودش از اکسترمال استفاده می کنه ( اون جایی که روی وجود پمپ بنزینی بحث می شه که به اندازه کافی برای رسیدن به بعدی بنزین داره می تونیم روی پمپ بنزینی بحث کنیم ، که تفاضل مقدار بنزین و فاصله اش با پمپ بعدی Max باشد)
من حلی ندیدم که صرفا از اکسترمال استفاده کنه ولی یک راه حل دارم که از اکسترمال و نزول نامتناهی استفاده می کنه:
فرض کنیم طول مسیری که باید طی شود x باشد و تعداد پمپ بنزین ها دلخواه. مسلما هیچ دو پمپ بنزینی در یک نقطه نیستند چون اگر باشند آنها را یکی در نظر می گیریم.
از بین تعدادی پمپ بنزین که در راه هستند ، حداقل یکی وجود دارد که با بنزین آن می توان به بعدی رسید _ می توان پمپی را مثال زد که تفاضل مقدار بنزین و فاصله اش با پمپ بعدی بیشینه باشد._ (اکسترمال) به این می گیم(P(x
حالا یکی از پمپ بنزینهایی که شرط بالا را دارد در نظر می گیریم، می توانیم از فاصله بین آن و پمپ بنزین بعدی (به این فاصله y می گوییم) و مقدار بنزین لازم برای رسیدن به پمپ بعدی صرف نظر کنیم. در این صورت تعدادی پمپ بنزین داریم و مسافتی که باید طی شود برابر x-y است.
چون این مسافت(x)مثبت است و تعداد دفعاتی که y ها از x کم می شوند متناهی و می دانیم که جمع همه y ها نمی تواند از x بیشتر شود ، طبق تعمیم اصل نزول نامتناهی حکم ثابت است.
من اولین باری که با این مسئله مواجه شدم این راه را ارائه کردم که البته فقط سخت تر از راه دیگر بیان می شود وگرنه در حقیقت چون اصول نزول نامتناهی و استقرا یکی هستند، این دو راه حل معادلند!!
حالا سوال 2: راه استقرایی که خودش از اکسترمال استفاده می کنه ( اون جایی که روی وجود پمپ بنزینی بحث می شه که به اندازه کافی برای رسیدن به بعدی بنزین داره می تونیم روی پمپ بنزینی بحث کنیم ، که تفاضل مقدار بنزین و فاصله اش با پمپ بعدی Max باشد)
من حلی ندیدم که صرفا از اکسترمال استفاده کنه ولی یک راه حل دارم که از اکسترمال و نزول نامتناهی استفاده می کنه:
فرض کنیم طول مسیری که باید طی شود x باشد و تعداد پمپ بنزین ها دلخواه. مسلما هیچ دو پمپ بنزینی در یک نقطه نیستند چون اگر باشند آنها را یکی در نظر می گیریم.
از بین تعدادی پمپ بنزین که در راه هستند ، حداقل یکی وجود دارد که با بنزین آن می توان به بعدی رسید _ می توان پمپی را مثال زد که تفاضل مقدار بنزین و فاصله اش با پمپ بعدی بیشینه باشد._ (اکسترمال) به این می گیم(P(x
حالا یکی از پمپ بنزینهایی که شرط بالا را دارد در نظر می گیریم، می توانیم از فاصله بین آن و پمپ بنزین بعدی (به این فاصله y می گوییم) و مقدار بنزین لازم برای رسیدن به پمپ بعدی صرف نظر کنیم. در این صورت تعدادی پمپ بنزین داریم و مسافتی که باید طی شود برابر x-y است.
چون این مسافت(x)مثبت است و تعداد دفعاتی که y ها از x کم می شوند متناهی و می دانیم که جمع همه y ها نمی تواند از x بیشتر شود ، طبق تعمیم اصل نزول نامتناهی حکم ثابت است.
من اولین باری که با این مسئله مواجه شدم این راه را ارائه کردم که البته فقط سخت تر از راه دیگر بیان می شود وگرنه در حقیقت چون اصول نزول نامتناهی و استقرا یکی هستند، این دو راه حل معادلند!!
- ارسال ها
- 2,239
- لایک ها
- 166
- امتیاز
- 0
پاسخ دومین سوال --- فقط با استفاده از اکسترمال
[center:d608fe3d95]
[/center:d608fe3d95][center:d608fe3d95](فقط با استفاده از اکسترمال)[/center:d608fe3d95]
[center:d608fe3d95]
از یک نقطه دلخواه در مسیر با بنزین صفر شروع به حرکت می کنیم و نمودار مقدار بنزین بر حسب مکان را رسم می کنیم (فرض کنید مقدار بنزین منفی هم می تواند باشد!!!). نقطه مینیمال این نمودار را می یابیم (دقت کنید که نقطه مینیمم را نمی یابیم!) حال اگر از این نقطه شروع به حرکت کنیم ، مقدار بنزین در باک خودرو همواره نامنفی است یعنی می توانیم یک دور کامل بزنیم.
با تشکر از آقای پویا وحیدی برای این راه حل زیبا
پس تا الآن 3 تا ره حل برای این مسئله بلدیم.
استقرا---نزول نامتناهی---اکسترمال!
- ارسال ها
- 2,239
- لایک ها
- 166
- امتیاز
- 0
من اصلا همچین منظوری نداشتم.
به چی می خواهم فخر بفروشم؟ به راه حلی که مال خودم نیست؟ من که نوشتم راه حل مال پویا وحیدی است.
این که اونجوری نوشتم به خاطر این بود که به چند نفر دیگه توضیح دادم ، همشون بر عکس عمل کردند.
به هر حال از شما معذرت می خواهم ( چون طوری نوشتم که سوء تفاهم ایجاد می کرد)
ببخشید
اصلاحش هم کردم
این گل هم به عنوان معذرت خواهی مال شما
و ضمنا متشکرم که تذکر دادید
به چی می خواهم فخر بفروشم؟ به راه حلی که مال خودم نیست؟ من که نوشتم راه حل مال پویا وحیدی است.
این که اونجوری نوشتم به خاطر این بود که به چند نفر دیگه توضیح دادم ، همشون بر عکس عمل کردند.
به هر حال از شما معذرت می خواهم ( چون طوری نوشتم که سوء تفاهم ایجاد می کرد)
ببخشید
اصلاحش هم کردم
این گل هم به عنوان معذرت خواهی مال شما
و ضمنا متشکرم که تذکر دادید