بخشپذیری اعداد به شکل 111...11

rezashiri · 1389/6/30

اگر تعریف کنیم

$k(x)=\underset{x}{\underbrace{111...11}}$

و داشته باشیم

$k(n)\mid k(m)$

ثابت کنید :

$n\mid m$

.

mrbayat · 1389/6/30

ابتدا داریم:

$k(x)=\frac{10^{x}-1}{9}$

$k(n)\mid k(m)\Rightarrow \frac{10^{n}-1}{9}\mid \frac{10^{m}-1}{9}\Rightarrow 10^{n}-1\mid 10^{m}-1$

$\Rightarrow 10^{m}\overset{10^{n}-1}{\equiv }1$

و واضح است که n مرتبه

$10^$

به پیمانه ی

$10^n-1$

است زیرا کوچکترین عددی است که در این رابطه صدق می کند.پس:

$n\mid m$

Aref · 1389/6/30

بدون مرتبه هم مستقیما میشد حکم رو از خط دوم نتیجه گرفت