بخشپذیری بر 53

rezashiri · 1389/7/3

ثابت کنید تمام اعداد به شکل 1007و10017و100117و... بر 53 بخشپذیرند.

mrbayat · 1389/7/4

ابتدا توجه کنید که همه ی جملات به فرم زیر اند:

$100\cdot 10^{n}+10^{n-1}+\cdot \cdot \cdot +10+7$

حالا داریم:

$A=100\cdot 10^{n}+10^{n-1}+\cdot \cdot \cdot +10+7=10^{n+2}+\frac{10^n-1}{9}+6=\frac{9\cdot 10^{n+2}+10^n+53}{9}$

$=\frac{10^{n}\cdot(901)+53}{9}=\frac{10^n\cdot (53\cdot 17)+53}{9}=\frac{53(10^n\cdot 17+1)}{9}$

$\Rightarrow 53\mid 9A\overset{(53,9)=1}{\Rightarrow} 53\mid A$

rezashiri · 1389/7/5

با استقرا هم ثابت می شه

AidinT · 1389/7/5

ولی راه ایشون جداً زیبا بود.