بررسی المپیاد آزمایشی ریاضی بهمن 1390

hkh74 · 1390/12/2

پاسخ : بررسی المپیاد آزمایشی ریاضی بهمن 1390

math-sina گفت

از همنهشتی طرفین تساوی به پیمانه ی m-1 به دست می آید:

$m-1|2010$

، ثابت می کنیم تمام اعداد m دارای این خاصیت در شرایط مسئله صدق می کنند:

k را

$k=\frac{2010}{m-1}-1$

در نظر بگیرید، چون

$m=2011$

حالتی بدیهی است پس میتوانیم فرض کنیم k>0 عددی طبیعی است.

اعداد

$1,m,m^2,\dots,m^k$

رو در نظر بگیرید. هر کدام از این جملات (که توانی از m اند) را m-1 بار در یک حاصل جمع تکرار کنید، و یک عدد 1 هم به آن بیافزایید، یعنی حاصل جمع به صورت زیر شود:

$1+1+\dots+1\, +\, m+m+\dots+m\, +\, m^2+\dots+m^2\, +\dots+\, m^k\, +\dots+\, m^k\\ =1+(m-1)(1+m+m^2+\dots+m^k)=1+m^{k+1}-1=m^{k+1}$

اما تعداد جملات سمت چپ اولین تساوی برابر است با

$m+k(m-1)=m+2010-(m-1)=2011$

. پس می توان

$x_i$

ها را طوری تعیین کرد که عبارت برقرار باشد.

اکنون کافیست تعداد m هایی را پیدا کنیم که

$m-1|2010$

که بسیار ساده است.

بررسی المپیاد آزمایشی ریاضی بهمن 1390

hkh74

New Member