بررسی سوالات آزمون تشریحی ریاضی 21 اسفند

M_Sharifi · 1388/12/25

دوستان اگر راه حل و یا نظری در باره ی هریک از سوالات آزمون دارند، می توانند در این تاپیک مطرح کنند:

سوال 1.

در مثلث

$ABC$

، خطی که از وسط های دو ضلع

$AC$

و

$BC$

می گذرد، ارتفاع های وارد از راس های و

$B$

را به ترتیب در نقاط

$D$

و

$E$

قطع می کند. خطی که وسط های دو ضلع

$AB$

و

$BC$

را به هم وصل می کند، ارتفاع های وارد از راس های

$A$

و

$C$

را به نرتیب در نقاط

$F$

و

$G$

قطع می کند. ثابت کنید

[center:43ae2d34a1]

$DC\parallel BF\parallel GE$

[/center:43ae2d34a1]
سوال 2.

40 دزد، 4000 دلار پول دزدی را بین خود تقسیم کرده اند. یک گروه پنج نفره از دزدها را ضعیف می نامیم، هرگاه روی هم بیش از 500 دلار نداشته باشند. کم ترین تعداد ممکن برای تعداد گروه های ضعیف در میان همه ی گروه های پنج نفره ی ممکن، چه قدر است؟

سوال 3. (تالیفی)

بزرگ ترین مقدار ثابت

$c$

را بیابید که برای هر سه عدد حقیقی و نامنفی

$x>y>z$

با مجموع 1 داشته باشیم

[center:43ae2d34a1]

$\frac x{y-z}+\frac y{x-z}+\frac z{x-y}\geq\frac c{\sqrt{(x-y)^2+(y-z)^2+(x-z)^2}}$

[/center:43ae2d34a1]

shoki · 1388/12/25

سوال 1 راه ساده تری هم داره ولی فقط می خواستم یه روشی دیگر رو بنویسم ...

M_Sharifi · 1388/12/25

راه حل سوال 1. (از آقای احمدپور)

فرض کنید

$H$

مرکز ارتفاعی مثلث

$ABC$

و

$M$

وسط

$BC$

است. در این صورت

$H$

مرکز ارتفاعی مثلث های

$MBF,MCD,MEG$

نیز هست. پس

$MH$

بر هر سه خط

$BF,CD,EG$

عمود است. از این مطلب حکم مسئله نتیجه می شود.

M_Sharifi · 1388/12/25

راه حل سوال 3.

طبق نابرابری هولدر،
[center:dc2687d2dd]

$\left( \sum \frac x{|y-z|}\right)^2\left(\sum x(y-z)^2\right)\geq (x+y+z)^3=1$

از طرفی طبق نابرابری شور،

$\sum x(y-z)^2=\sum x^2y+\sum xy^2-6xyz\leq x^3+y^3+z^3-3xyz$

ضمن این که طبق اتحاد اویلر،

$x^3+y^3+z^3-3xyz=\frac12(x+y+z)\left((x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2 \right )\\~~~~~=\frac12\left((x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2 \right )$

بنابراین

$\frac12\left((x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2 \right )\left( \sum \frac x{|y-z|}\right)^2\geq1$

و یا

$\frac x{y-z}+\frac y{x-z}+\frac z{x-y}\geq\frac{\sqrt 2}{\sqrt{(x-y)^2+(y-z)^2+(x-z)^2}}$

در ضمن اگر

$z=0$

و

$y\to \frac12^-$

، مقدار

$c$

به سمت

$\sqrt2$

میل می کند. بنابراین

$\sqrt2$

بیش ترین مقدار ممکن برای ثابت

$c$

است.

[/center:dc2687d2dd]

saeed14 · 1388/12/27

نابرابری هولدر و
نابرابری شورمگر برای مرحله 2 المپیاد نیازند که یک چنین سوالی رو طرح کردید؟
اگه نه که ...
اگر هم آره که باز هم...

M_Sharifi · 1388/12/27

saeed14 گفت

مباحثی که برای مرحله ی دوم نیاز هستش رو نمیشه به صورت دقیق دسته بندی کرد. بنابراین ممکنه از هر موضوعی سوال مطرح بشه. به عنوان مثال سوال چبر پارسال (سوال 1) کاربردی از بحث درون یابی چندجمله ای ها بود که شاید دانش آموزها فکر نمی کردند سوالی از این بحث مطرح میشه. دانش آموزهایی که این موضوع رو بلد بودند به راحتی سوال رو می تونستند حل کنند. اما خیلی از دانش آموزها (حتی دانش آموزهای قوی) چون فکر می کردند این سوال راحت حل بشه، نتونستند حل کنند.
در مورد این سوال هم ما از نابرابری هولدر و شور استفاده کردیم. نابرابری شور نابرابری خیلی معروفیه و بحثی در موردش وجود نداره. نابرابری هولدر هم نتیجه ای از نابرابری میانگین حسابی-هندسی هستش.

Olympiad · 1388/12/27

آقاي شريفي ميشه صورت نابرابري هولدر رو بنويسيد؟!

M_Sharifi · 1388/12/27

Olympiad گفت

http://www.mathlinks.ro/viewtopic.php?t=167515

بررسی سوالات آزمون تشریحی ریاضی 21 اسفند

M_Sharifi

راهبر ریاضی

shoki

New Member

پیوست ها

M_Sharifi

راهبر ریاضی

M_Sharifi

راهبر ریاضی

saeed14

New Member

M_Sharifi

راهبر ریاضی

Olympiad

New Member

M_Sharifi

راهبر ریاضی