بررسی سوالات مرحله‌ی دوم سی و سومین المپیاد ریاضی سال 1394
- شروع کننده موضوع IRYSC-team
- تاریخ شروع
- برچسپ ها آزمون اثبات استفاده المپیاد المپیاد ریاضی المپیاد ریاضی 1394 المپیاد ریاضی 93 المپیادی بررسی تشریحی تعریف ریاضی ساعت سوال سی و سومین المپیاد ریاضی مثلث مدال المپیاد مرحله دوم المپیاد ریاضی نقطه همزمان هندسه پرسش کلید
پاسخ : بررسی سوالات مرحله‌ی دوم سی و سومین المپیاد ریاضی سال 1394
برای سوال 5:
به استقرا حکم رو ثابت می کنیم. برای اعداد کوچک درستی حکم به راحتی قابل بررسی هست. فرض کنید نقاط را به ترتیب ساعتگرد شماره گذاری کردیم و
)
نشان دهنده ی بازه ی به طول
است. (در جهت ساعتگرد
قبل از
آمده است.) برای گام استقرایی داریم:
اگر کمان به طول یک یا دو درون بازه ی ای باشند، در این حالت حکم برقرار است. در غیر این صورت هیچ کمانی از روی کمان
)
نگذشته و هر کمانی یا بعد از وسط
)
آمده یا قبل از اون. حال کمان های با طول بیش از 2، به دو دسته تبدیل می شوند، آن هایی که بین وسط
و
هستند (
) و آن هایی که بین وسط
و
هستند (
).
کمان
را از دایره حذف کنید و دو نقطه ی
رو به هم وصل کنید. همه ی بازه های
را از سمت راست و همه ی بازه ی های
را از سمت چپ یک واحد کم کنید:
&space;\mapsto&space;(a&space;-1&space;,&space;b)&space;\\&space;S_2&space;:&space;(a,b)&space;\mapsto&space;(a&space;,&space;b-1))
حال شرایط فرض استقرا برقرار است و به راحتی می توان بررسی کرد که آمدن یک کمان در کمان دیگر با این تغییرات عوض نمی شود.
برای سوال 5:
به استقرا حکم رو ثابت می کنیم. برای اعداد کوچک درستی حکم به راحتی قابل بررسی هست. فرض کنید نقاط را به ترتیب ساعتگرد شماره گذاری کردیم و
اگر کمان به طول یک یا دو درون بازه ی ای باشند، در این حالت حکم برقرار است. در غیر این صورت هیچ کمانی از روی کمان
کمان
- ارسال ها
- 33
- لایک ها
- 10
- امتیاز
- 0
پاسخ : بررسی سوالات مرحله‌ی دوم سی و سومین المپیاد ریاضی سال 1394
ميدونيم كه كمان n+1 دقيقا n+1 بخش زو اشغال ميكنه پسn-1 بخش ميمونه براي n خانه پس طبق لانه كبوتر حداقل يك بخش بايد حاو قسمت هايي از دو كمان مختلف باشه بعد ميگيم كه كمان n حداقل بايد يكي از بخش هاي باقيمانده (n-1 خانه) را اشغال كند زيرا در غير اينصورت به تمامي داخل كمان n+1 قرار ميگيرد و به همين ترتيب تا كمان 1 همه ي كمان ها بايد يك بخش جديد را اشغال كنند و حالا براي كمان 1 خانه جديدي باقي نميمونه پس در تمام حالات حداقل يك كمان به طور كامل داخل كمان ديگري است
ميدونيم كه كمان n+1 دقيقا n+1 بخش زو اشغال ميكنه پسn-1 بخش ميمونه براي n خانه پس طبق لانه كبوتر حداقل يك بخش بايد حاو قسمت هايي از دو كمان مختلف باشه بعد ميگيم كه كمان n حداقل بايد يكي از بخش هاي باقيمانده (n-1 خانه) را اشغال كند زيرا در غير اينصورت به تمامي داخل كمان n+1 قرار ميگيرد و به همين ترتيب تا كمان 1 همه ي كمان ها بايد يك بخش جديد را اشغال كنند و حالا براي كمان 1 خانه جديدي باقي نميمونه پس در تمام حالات حداقل يك كمان به طور كامل داخل كمان ديگري است
پاسخ : بررسی سوالات مرحله‌ی دوم سی و سومین المپیاد ریاضی سال 1394
بسیار خوب بود.:221:
البته فکر کنم حالت b=1 رو بررسی نکردین استاد. چون اگر b=1 دیگه اون استقرا کامل نمیشه.
هر عدد طبیعی رو میشه به صورت
نوشت که
خالی از مربع هست. اگر فرض کنیم تا به این جای کار استقرایی اومدیم و می دونیم برای عدد های قبلی تا
حکم درست هست، می تونیم بگیم:
1) اگر
چون
می تونیم اعداد
رو طوری پیدا کنیم که
,&space;LP(y)&space;\right&space;\}&space;\leq&space;\sqrt{a}&space;\leq&space;\sqrt{n})
در این صورت نمایش
یک نمایش مناسب است.
2) اگر
یعنی
در این صورت اگر
نمایش
b^2&space;+&space;b^2)
قابل قبول است. اما اگر
بود نمایش های زیر را در نظر می گیریم:
^2&space;\;\;\;\;\;\;\Rightarrow&space;n&space;=&space;2m^2&space;+&space;2m^2&space;\\&space;n&space;=&space;(2m&space;+&space;1)^2&space;\Rightarrow&space;n&space;=&space;(m)(2m+1)&space;+&space;(m+1)(2m+1))
3) تنها حالتی که باید بررسی کنیم این است که
. یعنی
. بررسی این حالت بسیار ساده است و توجه به نکته ی زیر خیلی از حالت ها رو هم راحت رد می کنه:
اگر قسمت خالی از مربع فقط اعداد اول
بود, می دانیم
نمایش به فرم
دارد. (چرا؟) همه ی این نمایش ها شرایط مسئله رو دارند.
*
1) اگر
2) اگر
3) تنها حالتی که باید بررسی کنیم این است که
اگر قسمت خالی از مربع فقط اعداد اول
*
البته فکر کنم حالت b=1 رو بررسی نکردین استاد. چون اگر b=1 دیگه اون استقرا کامل نمیشه.
پاسخ : بررسی سوالات مرحله‌ی دوم سی و سومین المپیاد ریاضی سال 1394
سوالا و جوابا رو مي تونيد از اينجا ببينيد: آرشیو آزمون‌ها | وبگاه المپیاد ریاضی ایران بعدش خودتون در مورد سطحش قضاوت كنيد.
سوالا و جوابا رو مي تونيد از اينجا ببينيد: آرشیو آزمون‌ها | وبگاه المپیاد ریاضی ایران بعدش خودتون در مورد سطحش قضاوت كنيد.
