بینهایت جواب

ali_irysc · 1390/3/18

بینهایت a,b,c,d متمایز طبیعی پیدا کنید که

$\frac{a^{2}+b^{2}}{c^{2}+d^{2}}$

عددی طبیعی شود

mahanmath · 1390/3/18

پاسخ : بینهایت جواب

refresh گفت

Lagrange Identity :28:

mahanmath · 1390/3/18

پاسخ : بینهایت جواب

refresh گفت

$(a^2 +b^2)(c^2 +d^2)=(ad-bc)^2 +(ac+bd)^2$

حالا c,d هرچی* خواستی* بذار یه عدد بزرگ دیگه هم که به شکل مجموع ۲ تا مربع رو تو c^2 +d^2 ضرب کن ، تموم شد !:103:

ali_irysc · 1390/3/18

پاسخ : بینهایت جواب

حالا ثابت کنید معادله روبرو در اعداد طبیعی بینهایت جواب متمایز دارد

$a^{2}+b^{2}=c^{2}+d^{2}$

alimohammadi · 1390/3/19

پاسخ : بینهایت جواب

refresh گفت

دو طرف را در c^2+b^2 ضرب ميكنيم با استفاده از اتحاد لاگرانژ داريم.(

كه بي نهايت جواب براي اعداد فيثاغورثي داريم

goodarz · 1390/3/19

پاسخ : بینهایت جواب

alimohammadi گفت

قبول, ولی چرا واسه هر سه تایی فیثاغورثی یه a,b,c,d با شرایط بالا پیدا میشن؟؟

alimohammadi · 1390/3/19

پاسخ : بینهایت جواب

goodarz گفت

بله درست ميگيد
لزوما جواب ها طبيعي نيستند

mahanmath · 1390/3/19

پاسخ : بینهایت جواب

فرض کنید

که p_i 4k+3 و q_i 4k+1 هستند .

تعداد نمایش های n به صورت مجموع ۲ مربع می شه (البته با یه سری حالت تکراری که کلا جوابا هارو میتونن 8 برابر کنن که تاًثیری نداره .)

Aref · 1390/3/19

پاسخ : بینهایت جواب

refresh گفت

فرض کنید

$n=pq;\: p,q\in \mathbb{P} ;\: p\equiv q\equiv 1 \pmod 4$

و

$p\neq q$

.
حالا فرض کنید:

$p=x^2+y^2,q=z^2+t^2,x,y,z,t\in \mathbb N$

داریم:

$n=(xz-yt)^2+(xt+yz)^2=(xt-yz)^2+(xz+yt)^2$

.
چند تا حالت خاص ممکنه رخ بده که ما میگیم رخ نمیده:
1)یکی از پرانتز ها صفر بشود: بدون کاستن از کلیت فرض کنید مثلا:

$xz=yt$

.
حالا چون

$p,q\in \mathbb P$

؛

$gcd(x,y)=gcd(z,t)=1$

، پس

$\left\{\begin{matrix} x\mid yt\Rightarrow x\mid t\\ z\mid yt\Rightarrow z\mid y\\ y\mid xz\Rightarrow y\mid z\\ t\mid xz\Rightarrow t\mid x \end{matrix}\right. \Rightarrow x=t,y=z\Rightarrow p=q$

که تناقضه.
2)یک جفت از پرانتز ها برابر بشوند. چون

$x,y,z,t\in \mathbb N$

؛
بدون کاستن از کلیت فرض می کنیم:

$|xz-yt|=|xt-yz|$

$|xz-yt|=|xt-yz|\iff (x-y)(z-t)=0 \, \vee (x-y)(z+t)=0$

که بازم تناقضه.

ali_irysc · 1390/3/19

پاسخ : بینهایت جواب

$\left ( nb+a \right )^{2}+\left ( na-b \right )^{2}=\left ( na+b \right )^{2}+\left ( nb-a \right )^{2}$

ali_irysc · 1390/3/19

پاسخ : بینهایت جواب

$x,y$

را بر حسب مقادیر

$a_{i},b_{i}$

را بیابید

$\prod_{i=1}^n{\left ( a_{i}^{2}+b_{i}^{2}\right )}=x^{2}+y^{2}$

و تعداد حالت های

$x,y$

را بدست اورید

M_Sharifi · 1390/3/19

پاسخ : بینهایت جواب

refresh گفت

اگه اشتباه نکرده باشم طبق اتحاد لاگرانژ میشه

$4^n$

تا نمایش جبری پیدا کرد، مثلا

$\left\prod_{i=1}^n(a_i^2+b_i^2)\\ =\left(\sum_{2\mid k}(-1)^{\frac k2}\sum_{\{i_1,\ldots,i_n\}=\{1,\ldots,n\}} a_{i_1}\cdots a_{i_k}b_{i_{k+1}}\cdots b_{i_n}\right)^2+\left(\sum_{2\nmid k}(-1)^{\frac {k-1}2}\sum_{\{i_1,\ldots,i_n\}=\{1,\ldots,n\}} a_{i_1}\cdots a_{i_k}b_{i_{k+1}}\cdots b_{i_n}\right)^2\right$

ali_irysc · 1390/3/19

پاسخ : بینهایت جواب

برای چه n هایی می توان

$c_{i}$

را بر حسب

$a_{i},b_{i}$

نوشت

$\left ( \sum_{i=1}^n{a_{i}^{2}} \right )\left ( \sum_{i=1}^n{b_{i}^{2}} \right )=\sum_{i=1}^n{c_{i}^{2}}$

و

$c_{i}$

ها و تعداد حالت های نمایششان را پیدا کنید

ali_irysc · 1390/3/26

پاسخ : بینهایت جواب

چهار متغیر

$w,x,y,z$

را بر حسب متغیر های طبیعی

$n,a_{i},b_{i},c_{i},d_{i}$

بیابید

$\prod_{i=1}^n{\left ( a^{2}_{i}+b^{2}_{i}+c^{2}_{i} +d^{2}_{i}\right )}=w^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2}$

بینهایت جواب

ali_irysc

New Member

mahanmath

New Member

mahanmath

New Member

ali_irysc

New Member

alimohammadi

New Member

goodarz

Well-Known Member

alimohammadi

New Member

mahanmath

New Member

Aref

New Member

ali_irysc

New Member

ali_irysc

New Member

M_Sharifi

راهبر ریاضی

ali_irysc

New Member

ali_irysc

New Member