تمام اعداد طبیعی را بیابید به طوری که...
- ارسال ها
- 159
- لایک ها
- 282
- امتیاز
- 0
پاسخ : تمام اعداد طبیعی را بیابید به طوری که...
فرض کنید که sqrt((2n+1)/n)=p/q
که p و q نسبت به هم اولند.
پس با به توان دو رسوندن به
q^2(2n+1)=np^2
میرسیم.
اما pوq نسبت به هم اول و 2n+1 و n هم نسبت به هم اولند.پس طبق لم اقلیدس n|q^2 و q^2|n پس n=q^2 و 2n+1|p^2 و p^2|2n+1 پس p^2=2n+1.
پس 2q^2+1=p^2 شرط لازم مسئله است(با جایگذاری q^2=n در صورت اصلی شرط کافی نیز هست)
پس p^2-1=2q^2 یعنی p^2-2q^2=1 که یه معادله پله(و جواباش هم همه تو معادله اصلی صدق میکنن)
که جواباش از این راه به دست میاد:
فرض کنید x=رادیکال 2 باشد. اگر عدد y به فرم a+bx باشد که a و b صحیحند آنگاه f و g را اینطور تعریف میکنیم:
f(y)=a , g(y)=b
آنگاه جوابها به فرم( f(3+2x و( g(3+2x هستند. از اینها n به دست میاد.
فرض کنید که sqrt((2n+1)/n)=p/q
که p و q نسبت به هم اولند.
پس با به توان دو رسوندن به
q^2(2n+1)=np^2
میرسیم.
اما pوq نسبت به هم اول و 2n+1 و n هم نسبت به هم اولند.پس طبق لم اقلیدس n|q^2 و q^2|n پس n=q^2 و 2n+1|p^2 و p^2|2n+1 پس p^2=2n+1.
پس 2q^2+1=p^2 شرط لازم مسئله است(با جایگذاری q^2=n در صورت اصلی شرط کافی نیز هست)
پس p^2-1=2q^2 یعنی p^2-2q^2=1 که یه معادله پله(و جواباش هم همه تو معادله اصلی صدق میکنن)
که جواباش از این راه به دست میاد:
فرض کنید x=رادیکال 2 باشد. اگر عدد y به فرم a+bx باشد که a و b صحیحند آنگاه f و g را اینطور تعریف میکنیم:
f(y)=a , g(y)=b
آنگاه جوابها به فرم( f(3+2x و( g(3+2x هستند. از اینها n به دست میاد.
