حدسی در مورد یک رابطه ازدنباله

bnumber · 1390/10/29

2 3 5 7 11 13 17 19(اعداد اول)

1 2 3 4 5 6 7 8( اعداد طبیعی)
حدس زده می شود که مثلا 3[SUP]3[/SUP]>5[SUP]2 [/SUP]یا5[SUP]4[/SUP]>7[SUP]3 [/SUP]
ایا می توان این را گفت(اثبات کنید)
توضیح درمورد حدس:درواقع یک عدد از اعداد اول انتخاب می کنیم به توان عدد پایینی یکی جلوتر می رسانیم بزرگ تر ازعدد بعدی دنباله اول به توان عدد پایینی (اعداد طبیعی )یکی قبل از ان است.

goodarz · 1390/10/29

پاسخ : حدسی در مورد یک رابطه ازدنباله

bnumber گفت

من یه ذره تو هضم این جمله مشکل دارم. میشه اونو بر حسب دنباله

$p_{n}$

که

$p_{n}$

n امین عدد اوله بنویسین؟ واسه تایپ ریاضی میتونید از اینجا استفاده کنید: Online LaTeX Equation Editor - create, integrate and download

bnumber · 1390/10/29

پاسخ : حدسی در مورد یک رابطه ازدنباله

...p:2 3 5 7 11 13 17 19
f:1 2 3 4 5 6 7 8

p[SUB]n+1[/SUB]^f[SUB]n[/SUB] < p[SUB]n[/SUB]^f[SUB]n+1[/SUB]

iraniangirl · 1390/10/30

پاسخ : حدسی در مورد یک رابطه ازدنباله

$p_{n+1}^{f_{n}}< p_{n}^{f_{n+1}}\Leftrightarrow p_{n+1}^{f_{n}}< p_{n}^{f_{n}}\times p_{n}\Leftrightarrow (\frac{p_{n+1}}{p_{n}})^{f_{n}}< p_{n}$

حال ادعا میکنیم که:

$n\in \mathbb{N}\: ,\: n> 5\: :\: p_{n}< 2^{n}$

با استقرا حکم را اثبات میکنیم:

$n=6\Rightarrow 13=p_{6}< 2^{6}=64$

حال فرض میکنیم برای

$n\geq 6$

درست باشد یعنی:

$p_{n}< 2^{n}$

حکم ما این است:

$p_{n+1}< 2^{n+1}$

می دانیم که

$p_{n+1}< p_{n+2}< 2p_{n}$

.(طبق مساله حل شده در این لینک: ویژگی ازاعداد اول )

$p_{n+1}< 2p_{n}< 2^{n+1}$

پس حکم ثابت شد و به ازای هر n ای برقراره!(البته در مورد n های کوچکتر مساوی 5 باید به روش دستی تحقیق کرد!)

پس :

$\Leftrightarrow (\frac{p_{n+1}}{p_{n}})^{f_{n}}< 2^{n}$

میدانیم که

$f_{n}=n$

.پس باید ثابت کنیم که:

$\Leftrightarrow \frac{p_{n+1}}{p_{n}}< 2$

با استفاده از قضیه داده شده در لینک فوق داریم:

$\Leftrightarrow k< p_{n}< p_{n+1}<2k\Leftrightarrow \frac{k}{p_{n}}< 1< \frac{ p_{n+1}}{ p_{n}}< \frac{2k}{ p_{n}}< 2\Leftrightarrow \frac{ p_{n+1}}{ p_{n}}< 2$

پس این رابطه صحیح است!

goodarz · 1390/11/1

پاسخ : حدسی در مورد یک رابطه ازدنباله

نه, اثبات شما غلطه. باید ثابت کنیم

$(\frac{p_{n+1}}{p_n})^n\le p_n<2^n$

و اثبات این که

$\frac{p_{n+1}}{p_n}< 2$

هیچ کمکی در مورد مسئله اصلی که ثابت کنیم

$(\frac{p_{n+1}}{p_n})^n\le p_n$

نمی کنه.

bnumber · 1390/11/12

پاسخ : حدسی در مورد یک رابطه ازدنباله

سلام یک سوال دیگه شبیه این برای من به وجود امده دوست دارم بدونم برای اثباتشون چه جوری می شود فکر کرد؟

threehandsnal · 1390/11/12

پاسخ : حدسی در مورد یک رابطه ازدنباله

میشه سوالتون رو هم اینجا بذارین؟

حدسی در مورد یک رابطه ازدنباله

bnumber

New Member

goodarz

Well-Known Member

bnumber

New Member

iraniangirl

New Member

goodarz

Well-Known Member

bnumber

New Member

threehandsnal

New Member