دوایر مماس بر هم

[zz_torna2]

این سوال رو از روی سوال Romanian TST 2013 الهام گرفتم!

دو دایره w,u بر هم در P مماس داخل اند(u داخل w است) وتر AB از w در C بر u مماس است.PC دایره w را در Q قطع میکند.مماس های QE,QF بر u را رسم میکنیم(E,F روی u هستند) مرکز دایره محاطی داخلی مثلث های EAB,FAB را I,J میگیریم.ثابت کنید دایره محیطی مثلث PIJ بر w,u مماس است.

 

[ash1374]

پاسخ : دوایر مماس بر هم

سلام. مطمئن هستید سوال درسته؟ من به تناقض رسیدم :

براحتی می توان ثابت کرد فاصله ی q از نقاط a,f,e,b یک اندازه است. پس afeb محاطیه. محور اصلی های دو به دوی دوایر uوw و دایره محاطی afeb همرسند. یعنی مماس در p بر دوایر و ef و ab همرسند. محل همرسی رو t بگیرید. واضحه به دلیل محاطی بودن اون چهار ضلعی خواهیم داشت زوایای afbوaeb برابرند. به سادگی نتیجه میشه aib و ajb هم برابر هستند. پس aijb محاطیه. از طرفی قراره ثابت کنید دایره ی محیطی pij بر دایره های ی pab و pef مماسه و قاعداتا در p مماسه. محور اصل های دو به دوی دایره محیطی pij و دایره محیطی aijb و دایره ی w همرسند. حالا اگر مسئله درست باشه، این محور اصلی ها یکی مماس در p بر دوایر و یکی ij و یکی ab میشه. پس ij از t میگذره. پس pi.pj=pa.pb=pe.pf بنابر این چهارضلعی ijef محاطیه. از طرفی fi و ej در وسط کمان ab از دایره محیطی afeb همرسند(که آن را s مینامیم) و همچنین چون مرکز نیمسازی هستند پس si=sj. پس این چهر ضلعی محاطی ذوزنقه هست. با یک زاویه بازی ساده نتیجه میشه afeb هم ذوزنقه هست. که نتیجه میشه ef و ab موازی هستند و t میره به بینهایت. در این صورت مماس در p هم باید به ab موازی بشه که لزومی نداره و این تناقضه.

اگر من تو راه بالا سوتی نداده باشم، شاید بهتر باشه صورت سوال رو این طوری عوض کنید تا درست بشه : ثابت کنید اگر دایره محیطی pij بر uوw مماس باشد آنگاه مماس در p موازی ab خواهد بود.

 

[zz_torna2]

پاسخ : دوایر مماس بر هم

شرمنده از تمامی دوستان.با توجه به گفته ی اقای شاولی شکل کشیدم دیدم سوال متاسفانه اشتباهه(یه جوب ریز داشت!).منم خیلی شرمنده ام از کسانی که روی این سوال فکر کردن بخصوص اقا شاولی !:2::115: