سوالات مختلف کشورهای مختلف

amirhossein1376 · 1392/10/17

1.تمام جفت های طبیعی را بیابید که:

$3^{a}=2b^{2}+1$

2.اگر p عددی اول به شکل

باشد معادله زیر را در اعداد طبیعی حل کنید:

3.اگر a,b,c از اعداد حقیقی مثبت باشند که

ثابت کنید:

4.تمام اعداد طبیعی a,b را بیابید که

$3^{a}+7^{b}$

مربع کامل شود.

5.a,b,c اعداد حقیقی مثبت اند که

و

ثابت کنید :

6.تمام توابع

را بیابید که :

7.x,y طبیعی اند اگر به ازای هر عدد طبییعی n

عاد کند

را ثابت کنید:

چند تا سوال دیگه موند که بعد از حل اینا میذارم ایشالله

Aria Keshtkar · 1392/10/17

پاسخ : سوالات مختلف کشورهای مختلف

amirhossein1376 گفت

پاسخ :

$\sum \frac{a-bc}{a+bc}=\sum \left ( 1-\frac{2bc}{a+bc} \right )=3-2\sum \frac{bc}{a+bc}\\ \sum \frac{a-bc}{a+bc}\leq \frac{3}{2}\Leftrightarrow 3-2\sum \frac{bc}{a+bc}\leq \frac{3}{2}\Leftrightarrow \sum \frac{bc}{a+bc}\geq \frac{3}{4}\\ \sum \frac{bc}{a+bc}=\sum \frac{\left ( bc \right )^{2}}{bc\left ( a+bc \right )}\geq \frac{\left ( ab+bc+ca \right )^{2}}{\left ( ab \right )^{2}+\left ( bc \right )^{2}+\left ( ca \right )^{2}+3abc}=\frac{\left ( ab \right )^{2}+\left ( bc \right )^{2}+\left ( ca \right )^{2}+2abc}{\left ( ab \right )^{2}+\left ( bc \right )^{2}+\left ( ca \right )^{2}+3abc}\\ \sum \frac{bc}{a+bc}\geq \frac{3}{4}\Leftrightarrow \left ( ab \right )^{2}+\left ( bc \right )^{2}+\left ( ca \right )^{2}\geq abc\Leftrightarrow \left ( ab \right )^{2}+\left ( bc \right )^{2}+\left ( ca \right )^{2}\geq abc\left ( a+b+c \right )\ ,\ \left ( ab,bc,ca \right )\leftrightarrow \left ( x,y,z \right )\Leftrightarrow x^{2}+y^{2}+z^{2}\geq xy+yz+zx$

mathematicia76 · 1392/10/17

پاسخ : سوالات مختلف کشورهای مختلف

amirhossein1376 گفت

برای این سوال یه راه حل دیگه هم هست
اینکه عبارتو قرینه کنیم بعد طرفین رو با سه جمع کنیم که طرف راست میشه 1.5
و هریک از کسرها به شکل 2bc/a+bc در میاد که با کوشی میشه اثبات کرد

amirhossein1376 · 1392/10/17

پاسخ : سوالات مختلف کشورهای مختلف

بیشتر مد نظر سوالهای نظریه هست

Aria Keshtkar · 1392/10/17

پاسخ : سوالات مختلف کشورهای مختلف

amirhossein1376 گفت

پاسخ :
به وضوح باید معادله ی

$3^{a}+7^{b}=c^{2}$

را در مجموعه ی اعداد طبیعی حل کنیم که داریم :

$3^{a}+7^{b}\equiv 0,2\left ( mod\ 4 \right )\ ,\ c^{2}\equiv 0,1\left ( mod\ 4 \right )\rightarrow 3^{a}+7^{b}\equiv c^{2}\equiv 0\left ( mod\ 4 \right )$

پس یکی از

$a,b$

فرد و دیگری زوج است که با حالت بندی داریم :

$1)a\in O\ ,\ b\in E\left ( b=2d \right )\rightarrow 3^{a}=\left ( c-7^{d} \right )\left ( c+7^{d} \right )\rightarrow \left\{\begin{matrix} c-7^{d}=3^{e}\\ c+7^{d}=3^{d-e} \end{matrix}\right.\rightarrow 2.7^{d}=3^{e}\left ( 3^{d-2e}-1 \right )\rightarrow 3^{e}=1\rightarrow e=0\overset{d\geq 1}{\rightarrow} 2.7^{d}+1=3^{a}\ ,\ 2.7^{d}+1\equiv 1\left ( mod\ 7 \right )\rightarrow 3^{a}\equiv 1\left ( mod\ 7 \right )\ ,\ ord_{3}\left ( 7 \right )=6\rightarrow 6\mid a\rightarrow a\in E\rightarrow d=0\rightarrow \left ( a,b \right )=\left ( 1,0 \right )$

$2)a\in E\ ,\ b\in O\left ( a=2f \right )\rightarrow 7^{b}=\left ( c-3^{f} \right )\left ( c+3^{f} \right )\rightarrow \left\{\begin{matrix} c-3^{f}=7^{g}\\ c+3^{f}=7^{b-g} \end{matrix}\right.\rightarrow 2.3^{f}=7^{g}\left ( 7^{b-2g}-1 \right )\rightarrow 7^{g}=1\rightarrow g=0\rightarrow 2.3^{f}=7^{b}-1\rightarrow 3^{f-1}=\frac{7^{b}-1}{6}=\sum_{i=0}^{b-1}7^{i}\ ,\ \sum_{i=0}^{b-1}7^{i}\equiv \sum_{i=0}^{b-1}1^{i}\equiv b\left ( mod\ 3 \right )\overset{f\geq 2}{\rightarrow}3\mid 3^{f-1}\rightarrow 3\mid b\rightarrow b=3h\rightarrow 2.3^{f}=7^{3h}-1\rightarrow 2.3^{f}=\left ( 7^{h}-1 \right )\left ( 7^{2h}+7^{h}+1 \right )\rightarrow \frac{7^{h}-1}{6}.\frac{7^{2h}+7^{h}+1}{3}=3^{f-2}\ ,\ \frac{7^{h}-1}{6}< \frac{7^{2h}+7^{h}+1}{3}\ ,\ \gcd \left ( \frac{7^{h}-1}{6},\frac{7^{2h}+7^{h}+1}{3} \right )=1\rightarrow \frac{7^{h}-1}{6}=1\rightarrow h=1\rightarrow b=3\rightarrow 3^{f}=171\rightarrow f\notin \mathbb{Z}\rightarrow f=1\rightarrow \left ( a,b \right )=\left ( 2,1 \right )$

پس در مجموع پاسخ در مجموعه ی اعداد صحیح عبارت است از

$\left ( a,b \right )=\left \{ \left ( 1,0 \right ),\left ( 2,1 \right ) \right \}$

که در مجموعه ی اعداد طبیعی

$\left ( a,b \right )=\left ( 2,1 \right )$

مدّ نظر می باشد.

سوالات مختلف کشورهای مختلف

amirhossein1376

Well-Known Member

Aria Keshtkar

New Member

mathematicia76

New Member

amirhossein1376

Well-Known Member

Aria Keshtkar

New Member