سوال: اثبات قطع میانه های مثلث در یک نقطه
- ارسال ها
- 935
- لایک ها
- 1,654
- امتیاز
- 93
پاسخ : سوال: اثبات قطع میانه های مثلث در یک نقطه
راه های زیادی داره اما اگه نخوام از قضیه های نامدار هندسه استفاده کنم .
تو مثلث ABC دو میانه AM , BN رو رسم کنید تا در G به هم برسند و CG رو امتدد بدید تا به نقطه P روی ضلع AB برسید میخوایم اثبات کنیم AP = BP .
بنابر عکس قضیه تالس چون نسبت CN / AN = CM / MB هست نتیجه میگیریم که MN با AB موازی هست .نقطه برخورد MN , CG رو K مینامیم . بنابر قضیه تالس نتیجه میشه که K وسط CP است . از تالس نتیجه میشه که دو مثلث GMN , ABG با هم متشابه اند و نسبت تشابه شون هم 1/2 هست . 2KG = GP .
اگه طول GP برابر 2x باشه . طول KG میشه x و CK میشه 3x . پس طول میانه برابر با 6x است .
حالا میدونیم KG / GC = 1/2 .از قبل هم میدونستیم که MG / AG = 1/2 . پس دو مثلث MGP , GAC با هم به حالت یک زاویه (زاویه G ) و نسبت دو ضلع مجاور متشابه اند و MP موازی است با ac .
پس BP / PA = BM / MC = 1 پس BP = AP پس P وسط AB است پس CP میانه مثلث است . پس سه میانه همرس اند .
راه های زیادی داره اما اگه نخوام از قضیه های نامدار هندسه استفاده کنم .
تو مثلث ABC دو میانه AM , BN رو رسم کنید تا در G به هم برسند و CG رو امتدد بدید تا به نقطه P روی ضلع AB برسید میخوایم اثبات کنیم AP = BP .
بنابر عکس قضیه تالس چون نسبت CN / AN = CM / MB هست نتیجه میگیریم که MN با AB موازی هست .نقطه برخورد MN , CG رو K مینامیم . بنابر قضیه تالس نتیجه میشه که K وسط CP است . از تالس نتیجه میشه که دو مثلث GMN , ABG با هم متشابه اند و نسبت تشابه شون هم 1/2 هست . 2KG = GP .
اگه طول GP برابر 2x باشه . طول KG میشه x و CK میشه 3x . پس طول میانه برابر با 6x است .
حالا میدونیم KG / GC = 1/2 .از قبل هم میدونستیم که MG / AG = 1/2 . پس دو مثلث MGP , GAC با هم به حالت یک زاویه (زاویه G ) و نسبت دو ضلع مجاور متشابه اند و MP موازی است با ac .
پس BP / PA = BM / MC = 1 پس BP = AP پس P وسط AB است پس CP میانه مثلث است . پس سه میانه همرس اند .
