سوال ریاضی-هر چی دلت بخواد توش داره !

threehandsnal · 1391/4/7

ثابت کنید این نامساوی برای همه n های طبیعی برقراره:

$1>\sum_{k=1}^{n}\left (\frac{\phi (k)}{k}.\ln\frac{2^k}{2^k-1} \right )> 1-\frac{1}{2^n}$

که در اینجا تابع

$\phi (n)$

نشان دهنده تعداد اعداد کوچکتر از n است که نسبت به n اول اند و طبق قرار داد

$\phi (1)=1$

است.

اولین راهنمایی(البته واسه کسایی که نظریه اعداد کار نکردن دونستنش نیازه) :
http://www.axgig.com/images/67095919972394468533.gif

math · 1391/4/7

پاسخ : سوال ریاضی-هر چی دلت بخواد توش داره !

من یک طرفش رو با استقرا رفتم کلش رو میشه رفت ؟؟؟:53:

threehandsnal · 1391/4/7

پاسخ : سوال ریاضی-هر چی دلت بخواد توش داره !

mathh گفت

عالیه

من راه حلی که دیدم با استقرا نبود. شما هر چقد تونستی حل کنیو بذار :3:
منم تا آخر شب یه راهنمایی برای اون راه حل میکنم :3:

threehandsnal · 1391/4/7

پاسخ : سوال ریاضی-هر چی دلت بخواد توش داره !

الوعده والوفا :4:
اینم راهنمایی دوم:

$0\leq x< 1:(1-x)(1+x+x^2+x^3+...)=1-x^{\infty }=1\implies \frac{1}{1-x}=1+x+x^2+x^3+...$

$\implies \ln \frac{1}{1-x}=\int \frac{1}{1-x} \:\mathrm{d}x=\int (1+x+x^2+...)\:\mathrm{d}x=x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+...+\text{constant}$

$x=0\implies 0=\ln\frac{1}{1-0}=0+0+0+...+\text{constant}\implies \text{constant}=0\implies \boxed{\ln \frac{1}{1-x}=x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+...}$

حالا قرار دهید

$y=\frac{1}{2}$

پس:

$\frac{2^k}{2^k-1}=\frac{1}{1-2^{-k}}=\frac{1}{1-y^k}\implies \ln \frac{2^k}{2^k-1}=\ln \frac{1}{1-y^k}=y^k+\frac{y^{2k}}{2}+\frac{y^{3k}}{3}+...$

اینم راهنمایی سوم:
طبق تعریف:

$\forall n>1:\phi (n)\leq n-1$

سوال ریاضی-هر چی دلت بخواد توش داره !

threehandsnal

New Member

math

New Member

threehandsnal

New Member

threehandsnal

New Member