سوال نظریه اعداد

mohamadreza salehi · 1391/5/19

همه ی اعداد طبیعی مانند (m) و (n) را بیابید به طوریکه :

1+mn و m+n

هر دو توانی از دو باشند
اگه راهنمایی خواستید بگید

ehsan-mokhtarian · 1391/5/21

پاسخ : سوال نظریه اعداد

ابتدا فرض می کنیم :

$m+n=2^{a} , mn+1=2^{a+b}$

حال با جای گذاری m بر حسب n در معادله دوم حل معادله درجه 2 خواهیم داشت:

$n=\frac{2^{a}\pm \sqrt{2^{2a}+4-2^{a+b+2}}}{2} \Rightarrow 2^{2a-2}-2^{a+b}+1 =(2^{a-1}-k)^{2}\Rightarrow 2^{a}k-2^{a+b}=k^{2}-1 \Rightarrow 2^{a}|k^2-1 = (k-1)(k+1)$

حالا می توان نتیجه گرفت k یا 1 است یا 3 و بقیش خر کاری و بررسی چند حالت می شه ...

ghobadi · 1391/7/15

پاسخ : سوال نظریه اعداد

سلام
من یه راه حله ساده تر دارم :

$m+n=2^{a}, mn+1=2^{a+b}(b>0)\Rightarrow n=\frac{2^{a+b}-1}{m}\Rightarrow m+\frac{2^{a+b}-1}{m}=2^{a} \Rightarrow (m-1)(m+1)=2^{a}(m-2^{b})$

(نو فرض مساله b>0 , b=0 چون یه دره تنبلم حوصلم نیومد درستش کنم !!!!! شما به بزرگیه خودتون ببخشید :87

چون m باید فرد باشه پس m-1 . m=1 نسبت بهم اولند و

$2^{a},m-2^{b}$

نسبت بهم اولند پس حالت بندی می کنید :
یه بار

$m-1=2^{a}$

که نتیجه میده

$m+1=m-2^{b}\Rightarrow 2^{b}=-1$

که محاله
یه بارم

$m-1=m-2^{b}\Rightarrow 2^{b}=1\Rightarrow m+n=mn+1$

فرض می کنیم که m=1 باشه (چون معادله متفارنه پس فرقی نداره که n=1 یا m=1 باشه ) که در اینصورت

$n=2^{a}-1(a> 0)$

پس کل جواب های ممکن برابر

$(1,2^{a}-1), (2^{a}-1,1)$

موفق باشید :1:

سوال نظریه اعداد

mohamadreza salehi

New Member

ehsan-mokhtarian

New Member

ghobadi

New Member