ضربهای نامتناهی جالب

seyed iman · 1391/2/26

ثابت کنید.
http://afd.netau.net/photos/e9fb672ee46b.jpg

hkh74 · 1391/2/27

پاسخ : ضربهای نامتناهی جالب

تابع دو متغیره ی

$f(z,n)$

را به این صورت تعریف می کنیم:

$f(z,n)=\prod_{k=1}^{n}\frac{1+z^{\frac{1}{2^k}}}{2}$

. باید ثابت کنیم

$\lim_{n\to\infty}f(z,n)=\frac{z-1}{\ln z}$

صورت بسته ی تابع رو به دست میاریم:

$f(z^{2^n},n)=\prod_{k=1}^{n}\frac{1+z^{\frac{2^n}{2^k}}}{2}=\prod_{k=0}^{n-1}\frac{1+z^{2^k}}{2}=\frac{(1+z)(1+z^2)(1+z^4)\dots(1+z^{2^{n-1}})}{2^n}$

حالا از این نکته استفاده می کنیم که هر عدد در مبنای 2 نمایش واحدی داره، پس همه ی ضرایب چندجمله ای صورت کسر برابر واحده. (در واقع ضریب

$z^t$

برابر است با تعداد نمایش های

$t$

در مبنای 2) پس:

$f(z^{2^n},n)=\frac{1+z+z^2+z^3+\dots+z^{2^n-1}}{2^n}=\frac{z^{2^n}-1}{2^n(z-1)} \\ \Rightarrow f(z,n)=\frac{z-1}{2^n(z^{\frac{1}{2^n}}-1)}$

اما

$\lim_{n\to\infty}2^n(z^{\frac{1}{2^n}}-1)=\lim_{n\to\infty}n(z^{\frac{1}{n}}-1)=\lim_{h\to0^+}\frac{z^h-1}{h}=\lim_{h\to0^+}\frac{z^h\ln z}{1}=\ln z$

پس

$\lim_{n\to\infty}f(z,n)=\frac{z-1}{\ln z}$

.

(در حد آخر از قاعده ی هوپیتال استفاده شد)

ضربهای نامتناهی جالب

seyed iman

Well-Known Member

hkh74

New Member