فرجه ی p ام، توان p ام.

Aref · 1391/7/9

فرض کنید

$p$

عددی اول و

$a$

عددی گویا و مثبت باشد.

تمام چند جمله ای های با ضرایب گویای

$f(x)$

را بیابید که داشته باشیم:

$f(\sqrt[p]{a})^p\in \mathbb {Q^{+}}$

hkh74 · 1391/7/10

پاسخ : فرجه ی p ام، توان p ام.

اگر a توان p ام کامل باشه که واضحه، اگه توان p ام کامل نباشه چندجمله ای

$x^p-a$

تحوبل ناپذیره.

$f(\sqrt[p]{a})^p=b\Rightarrow f(\sqrt[p]{a})=\sqrt[p]{b}\Rightarrow \sqrt[p]{b}\in\mathbb{Q}(\sqrt[p]{a})$

بنابر سوال 3 ی امتحان نظریه اعداد امسال عدد گویای مثبت c و عدد صحیح نامنفی k وجود داره که

$b=c^pa^k$

. پس

$f(\sqrt[p]{a})=c(\sqrt[p]{a})^k$

در نتیجه

$\sqrt[p]{a}$

ریشه ای از چندجمله ای

$f(x)-cx^k$

است، و چون

$x^p-a$

چندجمله ای مینیمالشه پس

$x^p-a|f(x)-cx^k$

پس به ازای یک چندجمله ای g با ضرایب گویا خواهیم داشت

$f(x)=(x^p-a)g(x)+cx^k$

و واضحه که همه ی چندجمله ای های به این شکل در شرط مسئله صدق می کنند.

Aref · 1391/7/15

پاسخ : فرجه ی p ام، توان p ام.

خب سوال اصلی همون سوال امتحان هستش. کسی میتونه اینو مقدماتی ثابت کنه؟:4:؟