لیگ جبر - هفته صفر الف (آزمایشی)

Dadgarnia · 1393/9/12

پاسخ : لیگ جبر - هفته صفر الف (آزمایشی)

دیشب می خواستم دیگه برم بخوابم به خاطر همین خلاصه نوشتم ولی از این به بعد سعی می کنم کامل بنویسم.
3- سوال خیلی قشنگی بود.
رابطه ی

$f(x-f(y))=f(x)+xf(y)+f(f(y))-1$

را

$P(x,y)$

می نامیم. ابتدا واضح است که

$f$

نمی تواند متحد با صفر باشد. پس حداقل یک

$y$

حقیقی وجود دارد که

$f(y)\neq 0$

باشد.

$P(\frac{x-f(f(y))+1}{f(y)},y)$

نتیجه می دهد:

$f(\frac{x-f(f(y))-f(y)^2+1}{f(y)})-f(\frac{x-f(f(y))+1}{f(y)})=x$

پس

$f(x)-f(y)$

پوشاست. حال داریم:

$P(f(x),x)\rightarrow f(f(x))=\frac{-f(x)^2+f(0)+1}{2}$

با جایگذاری این رابطه در صورت سوال و

$P(f(x),y)$

داریم:

$f(f(x)-f(y))=\frac{-f(x)^2+f(0)+1}{2}+f(x)f(y)+\frac{-f(y)^2+f(0)+1}{2}-1=$

$=-\frac{(f(x)-f(y))^2}{2}+f(0)$

با استفاده از اینکه

$f(x)-f(y)$

پوشاست داریم

$f(x)=-\frac{x^2}{2}+c$

و با جایگذاری این رابطه در صورت سوال بدست می آید

$c=1$

پس

$f(x)=-\frac{x^2}{2}+1$

می باشد.

---- دو نوشته به هم متصل شده است ----

٥- قرار مي دهيم

$\sum_{cyc}a=3u,\sum_{cyc}ab=3v^2,abc=w^3$

با خطي كردن نامساوي داريم:

$141a^4b^4c^4+8\sum_{cyc} (a^8b^4+a^4b^8)+70a^2b^2c^2\sum_{cyc}(a^4b^2+a^2b^4)+20\sum_{cyc}a^6b^6+$

$+20a^2b^2c^2\sum_{cyc}a^6\geq \left ( \sum_{cyc}a \right )\left ( 2\sum_{cyc}(a^7b^4 \,\,\,+\,\,\.a^4b^7) \,\,\, + \,\,\,5a^2b^2c^2\sum_{cyc}a^5 \,\,\, +$

$+4\sum_{cyc}(a^6b^5+a^5b^6)+14a^2b^2c^2\sum_{cyc}(a^3b^2+a^2b^3)+8a^2b^2c^2\sum_{cyc}(a^4b+ab^4)+$

$\left+20a^3b^3c^3\sum_{cyc}ab \right )$

حال اتحاد هاي زير را در نظر بگيريد:

$\sum_{cyc}(a^8b^4+a^4b^8)=\left ( \sum_{cyc}a^4b^4 \right )\left ( \sum_{cyc}a^4 \right )-3a^4b^4c^4$

$\sum_{cyc}a^4b^4=\left ( \sum_{cyc}ab \right )^4-4a^2b^2c^2\left ( \sum_{cyc}a \right )^2-4abc\left ( \sum_{cyc}a \right )\left ( \left ( \sum_{cyc}ab \right )^2-2abc\sum_{cyc}a \right )$

$\sum a^4=\left ( \sum_{cyc}a \right )^4+4abc\sum_{cyc}a+2\left ( \sum_{cyc}ab \right )^2-4\left ( \sum_{cyc}a \right )\left ( \sum_{cyc}ab \right )$

$\sum_{cyc}(a^4b^2+a^2b^4)=\left (\sum_{cyc}a^2b^2 \right )\left ( \sum_{cyc}a^2 \right )-3a^2b^2c^2$

$\sum_{cyc}a^2b^2=\left ( \sum_{cyc}ab \right )^2-2abc\sum_{cyc}a$

$\sum_{cyc}a^2=\left ( \sum_{cyc}a \right )^2-2\sum_{cyc}ab$

$\sum_{cyc}a^6b^6=\left ( \sum_{cyc}ab \right )^6-\left ( 3abc\sum_{cyc}(a^2b+ab^2)+6a^2b^2c^2\right )^2-6abc\left ( \sum_{cyc}a^3b^3 \right )\left ( \sum_{cyc}(a^2b+ab^2)+2abc \right )$

$\sum_{cyc}a^3b^3=\left ( \sum_{cyc}ab \right )^3+3a^2b^2c^2-3abc\left ( \sum_{cyc}ab \right )\left ( \sum_{cyc}a \right )$

$\sum_{cyc}(a^2b+ab^2)=\left ( \sum_{cyc}ab \right )\left ( \sum_{cyc}a \right )-3abc$

$\sum_{cyc}a^6=\left ( \sum_{cyc}a \right )^6-2\left ( \sum_{cyc}a^3 \right )\left ( 3\sum_{cyc}(a^2b+ab^2)+6abc \right )-\left ( 3\sum_{cyc}(a^2b+ab^2)+6abc \right )^2-$

$-2\sum_{cyc}a^3b^3$

$\sum_{cyc}a^3=\left ( \sum_{cyc}a \right )^3-3\sum_{cyc}(a^2b+ab^2)-6abc$

$\sum_{cyc}(a^7b^4+a^4b^7)=\left ( \sum_{cyc}a^4b^4 \right )\left ( \sum_{cyc}a^3 \right )-a^3b^3c^3\sum_{cyc}ab$

$\sum_{cyc}a^5=\left ( \sum_{cyc}a^ \right )\left ( \sum_{cyc}a^4 \right )-\left ( \sum_{cyc}ab \right )\left ( \sum_{cyc}a^3 \right )+abc\sum_{cyc}a^2$

$\sum_{cyc}(a^6b^5+a^5b^6)=\left ( \sum_{cyc}a \right )\left ( \sum_{cyc}a^5b^5 \right )-abc\sum_{cyc}a^4b^4$

$\sum_{cyc}a^5b^5=\left ( \sum_{cyc}ab \right )^5-2abc\left ( \sum_{cyc}a \right )\left ( \sum_{cyc}a^3b^3 \right )-\left (\sum_{cyc}ab \right )^2\left ( 3abc\sum_{cyc}(a^2b+ab^2)+6a^2b^2c^2 \right )$

$\sum_{cyc}(a^3b^2+a^2b^3)=\left ( \sum_{cyc}a^2b^2 \right )\left ( \sum_{cyc}a \right )-abc\sum_{cyc}ab$

$\sum_{cyc}(a^4b+ab^4)=\left ( \sum_{cyc}ab \right )\left ( \sum_{cyc}a^3 \right )-abc\sum_{cyc}a^2$

با كنار هم قرار دادن اين اتحاد ها مي توانيم نامساوي را به ازاي

$u,v,w$

بنويسيم. پس با استفاده از

$uvw$

كافي است نامساوي را به ازاي

$c=0$

ثابت كنيم. با كمي ساده سازي داريم:

$a^4+2a^2b^2+b^4\geq a^3b+ab^3$

حالا با استفاده از نامساوي هاي

$a^4+a^2b^2\geq 2a^3b,b^4+a^2b^2\geq 2ab^3$

كه با نامساوي حسابي هندسي قابل اثباتند حكم ثابت مي شود.
ديگه سعي كردم كامل بنويسم :4:.

Sina_sal · 1393/9/12

پاسخ : لیگ جبر - هفته صفر الف (آزمایشی)

4.

$k=ab+bc+ac$

$8k \geq 7k$

$\rightarrow 8k + 9abc \geq 7k$

$\rightarrow 8k + 9abc + 4a^2 + 4b^2 + 4c^2 \geq 7k$

$\rightarrow 4 (a+b+c)^2 + 9abc \geq 7k$

همینجا حلمون رو نگه میداریم!
میدانیم :

$a^2+b^2+c^2+2k \geq a^2+b^2+c^2$

$\rightarrow a^2+b^2+c^2+2k \geq 3$

$\rightarrow (a+b+c)^2 \geq 3$

حال که میدانیم

$(a+b+c)^2$

از 3 بزرگتر است به جای آن در نامساوی اصلیمان 3 قرار میدهیم(زیرا حداقل 3 است)

$\rightarrow 3*4+9abc\geq7k$

$\rightarrow 12+9abc\geq 7(ab+bc+ca)$

که همون حکم مسئله ماست پس مسئله حل شد!

Al!R3ZA · 1393/9/12

پاسخ : لیگ جبر

**Mobin** گفت

بنده یه سوالی برام پیش اومده :4:
اینی که گفتین یعنی چی دقیقا؟ :4:
یعنی کاچی بعضی از هیچیه؟ یا مثلا بخشی از هیچیه؟ :4:
تو داهات ما یه ضرب المثلی هست خیلی شبیه اینه میگن کاچی بهز هیچی ( bahze )
و البته بهز مخفف به ز یا به از یا بهتر از هست ! :115:

math1998 · 1393/9/12

پاسخ : لیگ جبر - هفته صفر الف (آزمایشی)

mmahdit گفت

بسم الله الرحمن الرحیم

قبل از شروع اینجا (پست اول تاپیک نظرخواهی) رابخوانید.
لطفا تا قبل از اتمام مهلت مشخص شده در بند 5 فقط دانش آموزان به سوالات پاسخ دهند.
لطفا در صورت مشاهده اشکال یا عیبی در سوالات در همین تاپیک اعلام کنید تا فورا اصلاح شود.
تمامی پاسخ ها را تنها در همین تاپیک ارسال کنید.
به پاسخ هایی که پس از 168 ساعت بعد از زمان درج سوالات، ارسال شوند ،در امتیازدهی ترتیب اثر داده نخواهد شد.
بارم هر مساله برابر 10 است.
مبنای امتیازدهی غیر از صحت راه حل ،زمان درج شدن پاسخ در بالای هر پست است.
پاسخ سوالات بعد از اتمام مهلت درج پاسخگویی شما دوستان عزیز در همین تاپیک درج می شود.
در صورتی که شرایط برای ادامه لیگ هموار شد ،امتیازات هفته های آزمایشی در ادامه لیگ باقی خواهد بود و از بین نخواهد رفت.

سوالات هفته صفر الف

1- برای عدد طبیعی

$n$
،

$f(n)$
را به این صورت تعریف می کنیم:

$f(n)=\frac{4n+\sqrt{4n^2-1}}{\sqrt{2n+1}+\sqrt{2n-1}}$

مقدار

$f(1)+f(2)+f(3)+...+f(1393)$
را محاسبه کنید.

[HR][/HR]
2-همه سه تایی های

$(x,y,z)$
از اعداد مختلط و متمایز را بیابید که در دستگاه معادلات زیر صدق کند.

$\left\{\begin{matrix} x=y^3+z^3\\ y=z^3+x^3 \\ z=x^3+y^3 \end{matrix}\right.$

[HR][/HR]
3- همه توابع

$f:R\rightarrow R$
رابیابید که برای هر

$x,y\in R$

$f(x-f(y))=f(x)+xf(y)+f(f(y))-1$

[HR][/HR]

4- فرض کنید

$a,b,c$
اعدادی حقیقی و نامنفی باشند به طوری که

$a^2+b^2+c^2=3$
ثابت کنید:

$12+9abc\geq 7(ab+bc+ca)$

[HR][/HR]
5- فرض کنید

$a,b,c$
اعدادی حقیقی و نامنفی باشند. ثابت کنید:

$\frac{1}{a+b+c}\geq \frac{a^3}{(2a^2+b^2)(2a^2+c^2)}+\frac{b^3}{(2b^2+a^2)(2b^2+c^2)}+\frac{c^3}{(2c^2+a^2)(2c^2+b^2)}$

[HR][/HR]
6- همه ریشه های چند جمله ای

$P(x)=x^n+\sum_{k=0}^{n-1}a_ix^i$
در بازه

$(0,1)$
قرار دارند (

$n\geq 3$
). ثابت کنید:

$a_1+2a_2+...+(n-2)a_{n-2}>0$

و من الله التوفیق

سلام من این سوال 6 رو بلدم فقط چون حال نوشتن ندارم خیلی خلاصه میگم

$p(x)=\sum a_{i}x^i=\prod (x-x_{i})$

از 2 طرف مشتق میگیریم بدست میاد!!!:4:

mmahdit · 1393/9/12

پاسخ : لیگ جبر - هفته صفر الف (آزمایشی)

math1998 گفت

خدا قوت
خسته نباشی
مسابقس یعنی... خب من چطوری نمره لحاظ کنم؟

math1998 · 1393/9/12

پاسخ : لیگ جبر - هفته صفر الف (آزمایشی)

mmahdit گفت

بیخیال من زیاد نمیام کلا منو حساب نکنید!!!

Dadgarnia · 1393/9/13

پاسخ : لیگ جبر - هفته صفر الف (آزمایشی)

١- داريم:

$f(n)=\frac{4n(\sqrt{2n+1}-\sqrt{2n-1})+(\sqrt{2n+1}-\sqrt{2n-1})\sqrt{(2n+1)(2n-1)}}{2}=$

$=\frac{(4n\sqrt{2n+1}-(2n-1)\sqrt{2n+1})-(4n\sqrt{2n-1}-(2n+1)\sqrt{2n-1})}{2}=$

$=\frac{(2n+1)\sqrt{2n+1}-(2n-1)\sqrt{2n-1}}{2}$

پس ما بايد حاصل عبارت زير را بدست آوريم:

$\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{1393}((2n+1)\sqrt{2n+1}-(2n-1)\sqrt{2n-1})=\frac{2787\sqrt{2787}-1}{2}$

mmahdit · 1393/9/18

پاسخ : لیگ جبر - هفته صفر الف (آزمایشی)

سعی می کنم فردا صبح اول وقت جواب ها رو بگذارم

Dadgarnia · 1393/9/18

پاسخ : لیگ جبر - هفته صفر الف (آزمایشی)

mmahdit گفت

امتیاز ها رو کی میذارین؟

mmahdit · 1393/9/19

پاسخ : لیگ جبر - هفته صفر الف (آزمایشی)

Dadgarnia گفت

یه کم مشغله دارم طول میکشه ولی حتما امتیازها رو می گذارم

---- دو نوشته به هم متصل شده است ----

Dadgarnia · 1393/9/19

پاسخ : لیگ جبر - هفته صفر الف (آزمایشی)

mmahdit گفت

اگه هر كدوم از راه حل هايي كه ما اينجا گذاشتيم درست بود خب مي تونين به همونا ارجاع بدين و فقط سوالايي كه حل نشدن يا كامل حل نشدنو راه حلشونو بنويسين.

mmahdit · 1393/9/19

پاسخ : لیگ جبر - هفته صفر الف (آزمایشی)

راه حل سوال 1: راه حل Dadgarnia را ببینید (به دلیل محدودیت کاراکتر به راه حل درست ایشان ارجاع می دهم)
[HR][/HR]
راه حل سوال 2 :

فرض کنید

$\alpha _1=x+y+z, \alpha_2=xy+yz+zx, \alpha_3= xyz$
با اتحاد اویلر داریم

$x^3+y^3+z^3=3xyz+(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)=$

$=3\alpha _3+\alpha _1(\alpha _1^2-3\alpha _2)=\alpha _1^3-3\alpha _1\alpha _2+3\alpha _3$

پس معادله را به این شکل بازنویسی می کنیم

$\left\{\begin{matrix} x=\alpha _1^3-3\alpha _1\alpha _2+3\alpha _3-x^3\\y= \alpha _1^3-3\alpha _1\alpha _2+3\alpha _3-y^3 \\z= \alpha _1^3-3\alpha _1\alpha _2+3\alpha _3-z^3 \end{matrix}\right$

چون

$x,y,z$
متمایز هستند پس این معادله باید سه جواب داشته باشد :

$t^3+t-(\alpha _1^3-3\alpha_1 \alpha_2+3\alpha _3)=0$

حال با محاسبه روابط ویت در چندجمله ایهای

$t^3+t-(\alpha _1^3-3\alpha_1 \alpha_2 +3\alpha _3)$
و

$t^3-\alpha_1 t^2+\alpha_2 t-\alpha _3$
به دست می آید:

$\left\{\begin{matrix} \alpha _1=0\\ \alpha _2=1 \\ \alpha _3=\alpha _1^3-3\alpha_1 \alpha_2+3\alpha _3 \end{matrix}\right.$

بنابراین با جاگذاری مقادیر بدست آمده

$\alpha _1=0 \; , \; \alpha _2=1$
در معادله سوم بدست می آید :

$\alpha _3=0$
بنابراین

$x,y,z$
ریشه های معادله

$t^3+t=0$
هستند.

بنابراین جواب ها

$(i,-i,0)$
و پنج جایگشت دیگر آن هستند.

[HR][/HR]راه حل سوال 3:

فرض می کنیم

$P(x,y)$
معرف حکم

$f(x-f(y))=f(x)+xf(y)+f(f(y))-1$
باشد.

قرار می دهیم

$f(0)=a$
از

$P(f(y),y)$
بدست می آید :

$f(0)=f(f(y))+f(y)^2+f(f(y))-1$
بنابراین باید برای هر

$x$
حقیقی داشته باشیم:

$f(f(x))=\frac{a+1-(f(x))^2}{2}$

اکنون از

$P(f(x),f(y))$
بدست می آید :

$f(f(x)-f(y))=f(f(x))+f(x)f(y)+f(f(y))-1=a-\frac{1}{2}(f(x)-f(y))^2$
[ (*)

حال ثابت می کنیم که

$f(x)-f(y)$
تمام مقادیر حقیقی را می تواند بپذیرد. اگر به ازای هر

$x\in \mathbb{R}$
داشته باشیم

$f(x)=0$
باجایگذاری در معادله اصلی به تناقض

$0=-1$
برمی خوریم.

پس

$y_0\in \mathbb{R}$
وجود دارد که

$f(y_0)\neq 0$
قرار می دهیم

$f(y_0)=b\neq 0$
از

$P(x_0,y_0 )$
بدست می آید :

$f(x_0-b)-f(x_0)=bx_0+\frac{a-1-b^2}{2}$

روشن است که با تغییر

$x_0$
عدد

$k=bx_0+\frac{a-1-b^2}{2}$
می تواند برابر با هر عدد حقیقی باشد

حال با قرار دادن

$x=x_0-b, \; y=x_0$
در عبارت (1) بدست می آوریم :

$f(k)=a-\frac{k^2}{2}$
که به ازای هر عدد حقیقی درست است. حال با جایگذاری

$a-\frac{x^2}{2}$
به جای

$f(x)$
در برابری

$f(f(x))=\frac{a+1-(f(x))^2}{2}$
بدست می آید:

$a=f(0)=1$
بنابراین تابع

$f(x)=1-\frac{x^2}{2}$
تنها جواب معادله است. به سادگی صحت این جواب با جایگذاری در رابطه

$P(x,y)$
تحقیق می شود.

---- دو نوشته به هم متصل شده است ----

راه حل سوال 4:

فرض می کنیم

$s=a+b+c$

در نتیجه بنا برفرض قضیه داریم:

$ab+bc+ca=\frac{(a+b+c)^2-(a^2+b^2+c^2)}{2}=\frac{s^2-3}{2}$

در نتیجه حکم مورد نظر به این شکل در می آید :

$45+18abc-7s^2\geq 0$

بنابرنامساوی شور داریم (این یکی از شکل های نامساوی شور درجه 3 است آن را به خاطر بسپارید) :

$(a+b+c)^3+9abc\geq 4(a+b+c)(ab+bc+ca)$

بنابراین

$s^3+9abc\geq 2s(s^2-3)$

در نتیجه

$9abc\geq s^3-6s$

یا

$18abc\geq2s^3-12s$

حال برای رسیدن به حکم مورد نظر

$45-7s^2$

را به دو طرف نامساوی اضافه می کنیم:

$45+18abc-7s^2\geq 45+2s^3-12s-7s^2$

کافی است ثابت کنیم که سمت راست نامساوی بالا نامنفی است اما داریم

$45+2s^3-12s-7s^2=(s-3)^2(2s+5)\geq 0$

و حکم ثابت است.

حالت برابری تنها برای

$a=b=c=1$

برقرار است.
[HR][/HR]
راه حل سوال 5:

می دانیم

$\frac{1}{a+b+c}=\frac{a}{(a+b+c)^2}+\frac{b}{(a+b+c)^2}+\frac{c}{(a+b+c)^2}$

برای اثبات حکم کافی است این سه نامساوی زیر را ثابت کنیم و بعد از ضرب

$c,b,a$

به ترتیب در اولی و دومی و سومی آنها را با هم جمع کنیم:

$\frac{a^2}{(2a^2+b^2)(2a^2+c^2)}\leq \frac{1}{(a+b+c)^2}$

$\frac{b^2}{(2b^2+c^2)(2b^2+a^2)}\leq \frac{1}{(a+b+c)^2}$

$\frac{c^2}{(2c^2+a^2)(2c^2+b^2)}\leq \frac{1}{(a+b+c)^2}$

بنابر نامساوی کوشی داریم:

$(a^2+a^2+b^2)(c^2+a^2+a^2)\geq (ac+a^2+ba)^2=a^2(a+b+c)^2$

که همان نامساوی مورد نظر ماست. دو نامساوی دیگر نیز به شیوه مشابه ثابت می شوند.

تساوی برقرار است اگر و تنها اگر

$a=b=c$

[HR][/HR]

---- دو نوشته به هم متصل شده است ----

Dadgarnia · 1393/9/19

پاسخ : لیگ جبر - هفته صفر الف (آزمایشی)

mmahdit گفت

الان كه من پست گذاشتم مي تونين راه حل سوال بعد رو بنويسين!

mmahdit · 1393/9/19

پاسخ : لیگ جبر - هفته صفر الف (آزمایشی)

Dadgarnia گفت

دیگه رسما حالم به شدت از این سیتم تایپ و پست گذاشتن این سایت مزخرف به هم خورد. الان نزدیک پنج شش ساعته دارم سعی می کنم یه پست بذارم مدام خراب میشه

در حالی که از قبل تایپشون کرده بودم

با این وضعیت واقعا ادامه دادن برای من ناممکن میشه. الان چندین کار مهم رو گذاشتم کنار به شوق یه خدمت ناچیز به شما المپیادی های عزیز اما این سایت داره واقعا کفر منو در می اره

---- دو نوشته به هم متصل شده است ----

پاسخ سوال 6:

فرض کنیم

$P(x)=x^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0=(x-\lambda _1)(x-\lambda _2)...(x-\lambda _n)$

که در آن

$\lambda_1,..., \lambda _n$

ریشه های چندجمله ای مزبور هستند که همگی در بازه

$(0,1)$

قرار دارند.

از دو طرف برابری بالا مشتق می گیریم:

$P{}'(x)=nx^{n-1}+(n-1)a_{n-1}x^{n-2}+\sum_{i=0}^{n-2}ia_ix^{i-1}=$

$=(x-\lambda _1)...(x-\lambda _{n-1})+(x-\lambda _1)...(x-\lambda _{n-2})(x-\lambda _n)+...+(x-\lambda _2)...(x-\lambda _n)$

حال اگر در برابری اخیر قرار دهیم

$x=1$

بدست می آوریم:

$n+(n-1)a_{n-1}+S=$

$=(1-\lambda _1)...(1-\lambda _{n-1})+(1-\lambda _1)...(1-\lambda _{n-2})(1-\lambda _n)+...+(1-\lambda _2)...(1-\lambda _n)$

$(a)$

که

$S$

همان مجموعی است که مثبت بودن آن را باید ثابت کنیم.

از طرفی بنابر نامساوی برنولی می دانیم اگر

$x_1,...,x_{n-1}$

در بازه

$(0,1)$

قرار داشته باشند داریم:

حال نامساوی را برای همه حاصلضرب های سمت راست

$(a)$

می نویسیم:

از طرفی چون

$\lambda_i$

ها ریشه های این چندجمله ای هستند با اتحاد ویت بدست می آوریم :

$a_{n-1}=-(\lambda _1+...+\lambda _n)$

پس نامساوی بالا به این شکل تبدیل می شود:

و حکم ثابت است.

---- دو نوشته به هم متصل شده است ----

100 بار پاسخ 6 را کامل تایپ کردم هربار یه تیکه اش نیومد.
دیگه خسته شدم. یا سایت بالا نیارید یا اینقدر داغون نباشه لطفا

mmahdit · 1393/9/24

پاسخ : لیگ جبر - هفته صفر الف (آزمایشی)

به دلیل سیستم تایپ کفردرآر این سایت لیگ جبر به ابدیت پیوست
از همه کسانی که با علاقه مسائل را حل کردند و یا روی آنها فکر کردند عذرخواهی می کنم

وفا صفا · 1393/9/24

پاسخ : لیگ جبر

این کار عالیه ولی فرمول نویسی خیلی وقت می بره و طولانیه
از این نظر بدرد نمی خوره اگر راه داری که در کم تر از 5 دقیقه بشه راحت جواب نوشت قبوله

---- دو نوشته به هم متصل شده است ----

بسیار عالی وقت این سایت وقت می بره
آدم خفن توش زیاده ولی استفاده ی خفن اصلا نداره

لیگ جبر - هفته صفر الف (آزمایشی)

Dadgarnia

New Member

Sina_sal

New Member

Al!R3ZA

Well-Known Member

math1998

New Member

mmahdit

New Member

math1998

New Member

Dadgarnia

New Member

mmahdit

New Member

Dadgarnia

New Member

mmahdit

New Member

Dadgarnia

New Member

mmahdit

New Member

Dadgarnia

New Member

mmahdit

New Member

mmahdit

New Member

وفا صفا

New Member