ماراتن جبر

maspo · 1393/5/31

تصمیم گرفتم که با توجه به کم شدن فعالیت در ایریسک دست به یک عمل خیر خواهانه بزنم:231:.قراره یه ماراتن دیگه راه بندازم با توجه به این که کسی به ماراتن های قبلی علاقه نشون نمیده.قوانین هم این ها هست.1.هرگز از aops یا جای دیگر لینک نمیدهید(البته عکس این عمل امکان پذیر است)2.اگر سوالی تا یک هفته حل نشد خودم یا یکی دیگه سوال جدید میزاره3.سوالات در هر سطحی میتونه باشه(حتی open اما دیگه مسخرشو در نیارید)4.سوالات ترجیحا زیبا و ایده دار باشه

AHZolfaghari · 1393/5/31

پاسخ : ماراتن جبر

maspo گفت

تصمیم گرفتم که با توجه به کم شدن فعالیت در ایریسک دست به یک عمل خیر خواهانه بزنم:231:.قراره یه ماراتن دیگه راه بندازم با توجه به این که کسی به ماراتن های قبلی علاقه نشون نمیده.قوانین هم این ها هست.1.هرگز از aops یا جای دیگر لینک نمیدهید(البته عکس این عمل امکان پذیر است)2.اگر سوالی تا یک هفته حل نشد خودم یا یکی دیگه سوال جدید میزاره3.سوالات در هر سطحی میتونه باشه(حتی open اما دیگه مسخرشو در نیارید)4.سوالات ترجیحا زیبا و ایده دار باشه

حالا سوال اول رو خودتون میذارید ؟؟

maspo · 1393/5/31

پاسخ : ماراتن جبر

فرض کنید

$\mathbb{R}^\ast$

مجموع اعداد حقیقی ناصفر باشد همه توابع

$f:\mathbb{R}^\ast\to\mathbb{R}^\ast$

را بیابید طوری که

$f(x^2+y)+1=f(x^2+1)+\frac{f(xy)}{f(x)}$

برای هر

$x,y\in $\mathbb{R}^\ast $$

با شرط

$x^2+y\neq 0$

math1998 · 1393/6/1

پاسخ : ماراتن جبر

maspo گفت

ثابت میکنیم تابع ثابت شروط مسئله را ارضا میکند

$p(-x,y)\Rightarrow \frac{f(-xy)}{f(-x)}=\frac{f(xy)}{f(x)}(1)\Rightarrow p(x,-y)\Rightarrow \frac{f(xy)}{f(-x)}=\frac{f(-xy)}{f(x)}(2)\Rightarrow (1),(2)\Rightarrow f(x)=f(-x)(3)\Rightarrow p(x,y)=p(x,-y)\Leftrightarrow f(x^2-y)=f(x^2+y)$

حالا طبق رابطه ی (4) و با استقرا دست میاد f(1)=f(3)=f(5)=....c[SUB]1[/SUB] and f(2)=f(4)=f(6)=.....c[SUB]2[/SUB]

$(4)\Rightarrow f(x^2+y)=f(x^2-y)=f(y-x^2)\Rightarrow p(1,x^2+1)\Rightarrow f(x^2+1)+1=f(2)+\frac{f(x^2+1)}{f(1)}$

و اگر در رابطه ی اصلی قرار دهیم :

$p(1,x^2)\Rightarrow f(x^2+1)+1=f(2)+\frac{f(x^2)}{f(1)}$

طبق این رابطه و رابطه ی بالا داریم

$f(x^2)=f(x^2+1)$

پس f(1)=f(2)=c [SUB]1[/SUB] =c[SUB]2[/SUB]
پس برای هر n طبیعی داریم 1=f(n)=c

حال به راحتی نتیجه بگیری برای هر x حقیقی داریم f(x)=1

AHZolfaghari · 1393/6/1

پاسخ : ماراتن جبر

math1998 گفت

الزما f عوعدد قرینه با هم برابر نمیشه میتونه قرینه هم باشن . ثانیا تابع همانی صدق می کنه پس اثبات ناقص هستش

math1998 · 1393/6/1

پاسخ : ماراتن جبر

AHZolfaghari گفت

نفهمیدم چی گفتید ناواضح بود در ضمن ممکنه همانی هم صدق اما هر تابعی که صدق کرد نمیشه گفت مثلا الان بگم هر عدد ثابت دیگه ای هم صدق میکنه مثل 2و3و... اما همونطور که دیدی جواب یکه.

AHZolfaghari · 1393/6/1

پاسخ : ماراتن جبر

math1998 گفت

طبق این دو تا رابطه نتیجه گرفتی که f دو عدد قرینه با هم برابره

$p(-x,y)\Rightarrow \frac{f(-xy)}{f(-x)}=\frac{f(xy)}{f(x)}(1)\Rightarrow p(x,-y)\Rightarrow \frac{f(xy)}{f(-x)}=\frac{f(-xy)}{f(x)}(2)\Rightarrow (1),(2)\Rightarrow f(x)=f(-x)(3)\Rightarrow p(x,y)=p(x,-y)\Leftrightarrow f(x^2-y)=f(x^2+y)$

اما اگه دقت کنی اگه f دوعدد قرینه قرینه باشن هم تو جفت روابط صدق می کنه.
بعدشم سوال از ما میخواد کلیه توابع رو بیابید که صدق کنند . وقتی تابع همانی صدق می کنه پس تو راه حل باید بیاد
اگر هم تابع ثابت باشه هم تابع ثابت هرچی صدق می کنه . مثلا شما بجای f(X) بذار 579248 (!!!) میبینی که صدق میکنه پس تو راه حلت باید بیاد این ها

math1998 · 1393/6/1

پاسخ : ماراتن جبر

AHZolfaghari گفت

حق با توئه البته هر دو حالت باید بررسی بشن که من حالت یک رو انجام دادم اما به هرحال فک کنم تو حالت دوم به تناض برسیم اما اونم باید امتحان شما زحمش رو بکش من باید برم اما در مورد همانی بودن لازمه که تو تمام شروط مسئله صدق کنه مثلا الان دوتا از توابع جمعی رو از رو ظاهر میتونیم بگیم همانین اما اینطور ممکنه نباشه.

darya.f · 1393/6/1

پاسخ : ماراتن جبر

اقاى ذولفقارى درست مىگن,به نظرم اگه اول تو q بررسى کنىم بعد حقىقى بهتره

math1998 · 1393/6/1

پاسخ : ماراتن جبر

darya.f گفت

همین که برای طبیعیا حل کنیم به طور مستقیم میتونیم برا حقیقیا اثبات کنیم وقتی حل برای اعداد گویا فایده داره که دامنهمون گویا باشه .

math · 1393/6/1

پاسخ : ماراتن جبر

موضوع تاپیک تکراری !! مگه افراد با تجربه ی سایت که در حال حاضر در این تاپیک پست دادن قوانین رو نمیدونن ؟

ماراتن های قبلی مگه مشکلی دارن ؟

لطفا از درست کردن تاپیک های مشابه خودداری کنید . :3:

ماراتن جبر

maspo

New Member

AHZolfaghari

Well-Known Member

maspo

New Member

math1998

New Member

AHZolfaghari

Well-Known Member

math1998

New Member

AHZolfaghari

Well-Known Member

math1998

New Member

darya.f

New Member

math1998

New Member

math

New Member