.::ماراتن دیفرانسیل::.

SMASZOP · 1391/4/5

پاسخ : .::ماراتن دیفرانسیل::.

ویرایش شد!!!!

orion · 1391/4/5

پاسخ : .::ماراتن دیفرانسیل::.

آفرین
حالا ج آخر رو هم بده کلن تموم شه

SMASZOP · 1391/4/5

پاسخ : .::ماراتن دیفرانسیل::.

البته 2 تو مخرج نداره حواسم نبود!!!شما ببخشید!!
حالا شما راه حلت رو بذار!

orion · 1391/4/5

پاسخ : .::ماراتن دیفرانسیل::.

خب این که صورت سوال بود:

$kx^2+y^2=1$

مشتق که بگیریم(ضمنی) میشه:

$2kx+2y\frac{dy}{dx}=0 \rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{-kx}{y}$

اعمال شرط عمود بودن:

$\frac{dY}{dx}=\frac{Y}{kx} \rightarrow ln(Y)=\frac{1}{k}lnx+c=\frac{1}{k}ln(Ax)$

که Y منحنی عمود و

$c=lnA$

(یه فرض دلخواه و A هم ثابته)

پس:

$Y=(Ax)^\frac{1}{k}$

تو حالت k=1 صورت سوالمون یه سری دایره میشن که مرکزشون مبدا هست و منحنی های عمود بهشون شعاع هاشون میشن

Yousefi · 1391/4/6

پاسخ : .::ماراتن دیفرانسیل::.

آورییین ! درسته ولی راه حل ؟

SMASZOP · 1391/4/6

پاسخ : .::ماراتن دیفرانسیل::.

همون راه حل orion!!

zz_torna2 · 1391/4/6

پاسخ : .::ماراتن دیفرانسیل::.

سوال بعد.

حد مقابل را حساب کنید:

$\lim_{x\rightarrow 0^{+}}\sqrt[x]{cos(\sqrt{x})}$

orion · 1391/4/6

پاسخ : .::ماراتن دیفرانسیل::.

Yousefi گفت

تو پست های قبلی گفته بود

threehandsnal · 1391/4/6

پاسخ : .::ماراتن دیفرانسیل::.

zz_torna2 گفت

$\lim_{x\to 0^+}\frac{\ln(\cos(\sqrt{x}))}{x}=\lim_{x\to 0^+}\frac{[\ln(\cos(\sqrt{x}))]'}{[x]'}=\lim_{x\to 0^+}\frac{\mathrm{d} \ln(\cos(\sqrt{x}))}{\mathrm{d} x}=\lim_{x\to 0^+}\left ( \frac{\mathrm{d} \ln(\cos(\sqrt{x}))}{\mathrm{d} \cos(\sqrt{x})}.\frac{\mathrm{d} \cos(\sqrt{x})}{\mathrm{d} \sqrt{x}}.\frac{\mathrm{d} \sqrt{x}}{\mathrm{d} x} \right )=\frac{-1}{2}\lim_{x\to 0^+}\frac{\tan(\sqrt{x})}{\sqrt{x}}=\frac{-1}{2}\lim_{x\to 0^+}\frac{[\tan(\sqrt{x})]'}{[\sqrt{x}]'}=\frac{-1}{2}\lim_{t\to 0^+}\frac{[\tan(t)]'}{[t]'}=\frac{-1}{2}\lim_{t\to 0^+}\frac{1}{\cos^2(t)}=\frac{-1}{2}$

پس:

$\lim_{x\to 0^+}(\cos(\sqrt{x}))^{\frac{1}{x}}=e^{\lim_{x\to 0^+}\frac{1}{x}\ln(\cos(\sqrt{x}))}=e^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{\sqrt{e}}$

zz_torna2 · 1391/4/6

پاسخ : .::ماراتن دیفرانسیل::.

سوال بعدی.

حد مقابل. حساب کنید :

$\lim_{x \rightarrow 0}\frac{1-cos(x).cos(2x)...cos(nx)}{x^{2}}$

mehran88 · 1391/4/6

پاسخ : .::ماراتن دیفرانسیل::.

zz_torna2 گفت

فوق العاده قشنگ بود.

من با استقرا جواب زیر رو بدست آوردم.

نکته ش اینه که توی هوپیتال گیری ها از مشتق سینوس در بقیه کسینوس ها استفاده کنیم و بقیه همه صفر هستند((خیلی فکر کنم بد گفتم!!!))

الان وقت نمی کنم راه حل بذارم.بعدا حتما میذارم

$\frac{n(n+1)(2n+1)}{12}$

فکر کنم اشتباهه.دوستان اگه لطف کنند ممنون میشم!

threehandsnal · 1391/4/6

پاسخ : .::ماراتن دیفرانسیل::.

zz_torna2 گفت

ابتدا با استقرا ثابت میکنیم که:

$\lim_{x\to 0}\frac{\mathrm{d^2} \cos(x)\cos(2x)..\cos(nx)}{\mathrm{d^2} x}=-\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

حکم واسه n=1,2 درسته. فرض میکنیم واسه n درسته و میخوایم واسه n+1 ثابتش کنیم:

$f(x)=\cos(x)\cos(2x)...\cos(nx)\:,\:g(x)=\cos((n+1)x)$

$\lim_{x\to 0}\frac{\mathrm{d^2} \cos(x)\cos(2x)..\cos(nx).\cos((n+1)x)}{\mathrm{d^2} x}=\lim_{x\to 0}\frac{\mathrm{d^2} f(x).g(x)}{\mathrm{d^2} x}=\lim_{x\to 0}(f''(x)g(x)+2f'(x)g'(x)+f(x)g''(x))=\lim_{x\to 0}(f''(x)g(x)+f(x)g''(x))=\lim_{x\to 0}f''(x)g(x)+\lim_{x\to 0}f(x)g''(x)=\lim_{x\to 0}-\frac{n(n+1)(2n+1)\cos((n+1)x)}{6}+\lim_{x\to 0}\cos(x)\cos(2x)...\cos(nx)( -(n+1)^2 \cos((n+1) x))=-(\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}+(n+1)^2)=-\frac{(n+1)(n+2)(2n+3)}{6}$

پس حکم ثابت شد.

حالا حکم رو ثابت میکنیم:

$\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos(x)\cos(2x)...\cos(nx)}{x^2}=\lim_{x\to 0}\frac{[1-\cos(x)\cos(2x)...\cos(nx)]'}{[x^2]'}=\lim_{x\to 0}\frac{-[\cos(x)\cos(2x)...\cos(nx)]'}{2x}=\lim_{x\to 0}\frac{-[\cos(x)\cos(2x)...\cos(nx)]''}{[2x]'}=\boxed{\frac{n(n+1)(2n+1)}{12}}$

برای دومین بار هوپیتال زدن از این نکته استفاده کردیم که میدونیم توی صورت همشون sin.cos هست پس صفره، مخرجم که صفره. پس حله دیگه :4:

orion · 1391/4/6

پاسخ : .::ماراتن دیفرانسیل::.

threehandsnal گفت

ممنون از شما
خط آخر اثبات حکم استقرا رو یه توضیح کوچول موچول میدی؟؟؟یه ذره گیج شدم

threehandsnal · 1391/4/6

پاسخ : .::ماراتن دیفرانسیل::.

orion گفت

خواهش میکنم :1:
فقط از این نکته استفاده شد که

$1^2+2^2+...+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

. جای n بذارین n+1 . البته میتونین دو طرف رو هم بسط بدین. اینجوری:
(\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}+(n+1)^2)-(\frac{(n+1)(n+2)(2n+3)}{6}) - Wolfram|Alpha

threehandsnal · 1391/4/7

پاسخ : .::ماراتن دیفرانسیل::.

zz_torna2 گفت

راه حل دوم (ایده اش تمیز نوشتنش بود:4: ) :

برای سادگی محاسبات قرار دهید

$\prod =\cos(x)\cos(2x)...\cos(nx)$

.

ابتدا مشتق روبرو را محاسبه میکنیم:

$\frac{\mathrm{d}(1- \prod) }{\mathrm{d} x}=0-\frac{\mathrm{d} \prod }{\mathrm{d} x}=-\sum_{k=1}^{n}\left (\frac{\prod }{\cos(kx)}.\frac{\mathrm{d} \cos(kx)}{\mathrm{d} x} \right )=\sum_{k=1}^{n}\left (\prod .\frac{k\sin(kx)}{\cos(kx)} \right )=\boxed{\prod \sum_{k=1}^{n}k\tan(kx)}$

حالا مشتق این رو حساب میکنیم:

$\frac{\mathrm{d} (\prod \sum_{k=1}^{n}k\tan(kx))}{\mathrm{d} x}=\sum_{k=1}^{n}\frac{\mathrm{d} (\prod k\tan(kx))}{\mathrm{d} x}=\left (\sum_{k=1}^{n} \prod .\frac{\mathrm{d} k\tan(kx)}{\mathrm{d} x} \right )+\left ( \sum_{k=1}^{n} k\tan(kx) \frac{\mathrm{d} \prod }{\mathrm{d} x}\right )=\boxed{\prod \sum_{k=1}^{n}k^2\sec^2(kx)+\frac{\mathrm{d} \prod }{\mathrm{d} x}.\sum_{k=1}^{n}k\tan(kx)}$

حالا به حل مساله میپردازیم :4: :

$\lim_{x\to 0}\underset{\text{L'Hôpital}}{\underbrace{\frac{1-\cos(x)\cos(2x)...\cos(nx)}{x^2}}}=\lim_{x\to 0}\underset{\text{L'Hôpital}}{\underbrace{\frac{\prod \sum_{k=1}^{n}k\tan(kx)}{2x}}}=\lim_{x\to 0}\frac{\prod \sum_{k=1}^{n}k^2\sec^2(kx)+\frac{\mathrm{d} \prod }{\mathrm{d} x}.\sum_{k=1}^{n}\tan(kx)}{2}=\frac{\lim_{x\to 0}\prod \sum_{k=1}^{n}k^2\sec^2(kx)+\lim_{x\to 0}\frac{\mathrm{d} \prod }{\mathrm{d} x}.\sum_{k=1}^{n}\tan(kx)}{2}=\frac{\sum_{k=1}^{n} k^2}{2}=\boxed{\frac{n(n+1)(2n+1)}{12}}$

zz_torna2 · 1391/4/7

پاسخ : .::ماراتن دیفرانسیل::.

راه خودم:

$cos(x).cos(2x)...cos(nx)=y\Rightarrow ln(y)=lncos(x)+lncos(2x)+...+lncos(nx)\Rightarrow \frac{{y}'}{y}=\sum_{i=1}^{n}\frac{-i.sin(ix)}{cos(ix)}\Rightarrow {y}'=y(\sum_{i=1}^{n}\frac{-i.sin(ix)}{cos(ix)})$

حالا مشتق دوم میگیریم:

${y}'=-y(\sum_{i=1}^{n}i.tan(ix))\Rightarrow {y}''=-{y}'(\sum_{i=1}^{n}i.tan(ix))-y[\sum_{i=1}^{n}i^{2}(1+tan^{2}(ix))]\Rightarrow {f}''(0)=-\sum_{i=1}^{n}i^{2}=-\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

حالا مشتق اول و دومو داریم و در حدمون حالت صفر,صفرم داریم پس هویتال میزنیم و دوباره نیز حالت صفر,صفرمرخ میده پس دوباره هوپیتال میزنیم که در کل داریم:

$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-y}{x^{2}}=\frac{0}{0}\overset{Hop}{\rightarrow}\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-y}{x^{2}}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{-{y}'}{2x}=\frac{0}{0}\overset{Hop}{\rightarrow}\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-y}{x^{2}}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{{-y}''}{2}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{12}$

zz_torna2 · 1391/4/7

پاسخ : .::ماراتن دیفرانسیل::.

سوال بعدی.

حد مقابلو بگید:

$U_{n}=\frac{[x]+[2x]...+[nx]}{n^{2}}\Rightarrow \lim_{n \to \infty }U_{n}=?$

threehandsnal · 1391/4/7

پاسخ : .::ماراتن دیفرانسیل::.

zz_torna2 گفت

$\forall k\in \mathbb{N}:kx-1< \left \lfloor kx \right \rfloor\leq kx\implies \sum_{k=1}^{n}\left ( kx-1 \right )< \sum_{k=1}^{n}\left \lfloor kx \right \rfloor\leq \sum_{k=1}^{n}kx\implies \frac{n(n+1)}{2}x-n<n^2.U_n\leq \frac{n(n+1)}{2}x\implies \frac{n+1}{2n}x-\frac{1}{n}< U_n\leq \frac{n+1}{2n}x\implies \lim_{n \to \infty } U_n=\lim_{n \to \infty } \frac{n+1}{2n}x=\boxed{\frac{x}{2}}$

zz_torna2 · 1391/4/7

پاسخ : .::ماراتن دیفرانسیل::.

سوال بعدی.
فرض کنید f تابعی پیوسته روی

$[0,1]$

باشد به طوری که

$f(0)=f(1)$

.ثابت کنید::

$\exists a\in [0,\frac{1}{2}]\, \, s.t.\, \, \, f(a)=f(a+\frac{1}{2})$

threehandsnal · 1391/4/7

پاسخ : .::ماراتن دیفرانسیل::.

zz_torna2 گفت

از هر نقطه

$a\in[0,\frac{1}{2}]$

به نقطه متناظرش

$a+\frac{1}{2}$

وصل میکنیم. شیب خط گذرنده از نقطه

$a\:,\:a+\frac{1}{2}$

را

$L(a)$

بنامید.واضح است که تابع

$L(x)$

در بازه

$x\in [0,\frac{1}{2}]$

پیوسته است.
برهان خلف: فرض کنید

$\forall x\in [0,\frac{1}{2}]:f(x)\neq f(x+\frac{1}{2})\Leftrightarrow L(x)\neq 0$

.

بدون کم شدن از کلیت مساله فرض کنید

$L(0)>0$

. حال اگر

$\exists x_0\in(0,\frac{1}{2}]\text{ s.t. }L(x_0)<0$

آنگاه طبق قضیه مقدار میانگین

$\exists y\in(0,x_0)\text{ s.t. }L(y)=0$

. پس در این حالت

$\forall x\in [0,\frac{1}{2}]:L(x)>0\implies f(1)>f(\frac{1}{2})>f(0)$

که تناقضه. حالت

$L(0)<0$

هم به طور مشابه رد میشه. پس حکم ثابت شد :1:

.::ماراتن دیفرانسیل::.

مشاور فیزیک

Well-Known Member

مشاور فیزیک

Well-Known Member

Well-Known Member

مشاور فیزیک

New Member

Well-Known Member

New Member

New Member

New Member

New Member

Well-Known Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member