.::ماراتن دیفرانسیل::.

zz_torna2 · 1391/4/7

پاسخ : .::ماراتن دیفرانسیل::.

$g(x)=f(x+\frac{1}{2})-f(x)\Rightarrow \left\{\begin{matrix}g(\frac{1}{2})=f(1)-f(\frac{1}{2}) \\ g(0)=f(\frac{1}{2})-f(0)=f(\frac{1}{2})-f(1) \end{matrix}\right.$

حالا فرض میکنیم

$\begin{matrix}g(\frac{1}{2})\neq 0 \\ g(0)\neq 0 \end{matrix}$

چون اگه غیر از این باشه حکم برقراره . حالا

$g(\frac{1}{2}).g(0)< 0$

با توجه به پیوستگی و قضیه رول مسئله حله!!

zz_torna2 · 1391/4/7

پاسخ : .::ماراتن دیفرانسیل::.

سوال بعدی.

فرض کنید

$f(x)=a_{1}sin(X)+a_{2}sin(2x)+...+a_{n}sin(nx)$

که در ان

$a_{1},a_{2},...,a_{n}$

اعداد حقیقی و ثابتی هستند و n طبیعیه.میدانیم برای هر X حقیقی

$\left |f(x) \right |\leq \left | sin(x) \right |$

نشان دهید :

$\left | a_{1}+2a_{2}+...+na_{n} \right |\leq 1$

orion · 1391/4/7

پاسخ : .::ماراتن دیفرانسیل::.

اون s.t.رو معنی میکنید(تو صورت سوال آخریه)

threehandsnal · 1391/4/7

پاسخ : .::ماراتن دیفرانسیل::.

orion گفت

یعنی such that.. به گونه ای(شرطی) که ... :3:

threehandsnal · 1391/4/7

پاسخ : .::ماراتن دیفرانسیل::.

zz_torna2 گفت

داریم:

$f'(x)=\sum_{k=1}^{n}ka_k\cos(kx)\implies f'(0)=\sum_{k=1}^{n}ka_k$

پس حکم مساله معادل است با اینکه

$|f'(0)|\leq 1$

پس حکم معادل نابیشتر از یک بودن عبارت زیره:

$|f'(0)|=\lim_{x\to 0}\left | \frac{f(x)-f(0)}{x} \right |=\lim_{x\to 0}\left | \frac{f(x)}{x} \right |$

از طرفی می دانیم

$\forall x\in \mathbb{R}:|x|\geq |\sin(x)|$

(اگه اثبات نیاز بود بگین) پس داریم:

$|x|\geq |\sin(x)|\geq |f(x)|\implies \left | \frac{f(x)}{x} \right |\leq 1$

پس حکم ثابت شد.

پ.ن: اثبات این نکته که

$\forall x\in \mathbb{R}:|x|\geq |\sin(x)|$

:
برای

$|x|\geq 1$

که جکم بدیهیه! میمونه

$|x|< 1$

. قرار دهید

$f(x)=|\sin(x)|\:,\:g(x)=|x|$

. واضحه که

$f(0)=g(0)=0$

ولی برای x>0 داریم

$\cos(x)=f'(x)\leq g'(x)=1$

پس حکم بدیهی میشه. واسه x<0 هم به طور مشابه نتیجه میشه.

zz_torna2 · 1391/4/8

پاسخ : .::ماراتن دیفرانسیل::.

راه دوم

حکم مساله معادل است با اینکه

$|f'(0)|\leq 1$

.میدانیم

$\left | \frac{f(x)}{sin(x)} \right |\leq 1\Rightarrow \left | \lim_{x\rightarrow 0}\frac{f(X)}{sin(x)}\right |\leq 1$

حالا داریم:

$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{f(X)}{sin(x)}=\frac{0}{0}\overset{Hop}{\rightarrow}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{{f}'(x)}{cos(x)}={f}'(0)\Rightarrow \left | {f}'(0) \right |\leq 1\, \, \blacksquare$

zz_torna2 · 1391/4/8

پاسخ : .::ماراتن دیفرانسیل::.

سوال بعدی.

فرض کنید f در بازه

$[a,b]$

پیوسته و

$\alpha ,\beta$

دو عدد حقیقی مثبت باشند ,نشان دهید لا اقل یک عدد حقیقی c در فاصله ی

$[a,b]$

وجود دارد به قسمی که:

$\alpha f(a) +\beta f(b)=(\alpha +\beta ) f(c)$

threehandsnal · 1391/4/8

پاسخ : .::ماراتن دیفرانسیل::.

zz_torna2 گفت

ساده بود

$\forall x\in [a,b]: g(x)=f(x)-\frac{\alpha f(a)+\beta f(b)}{\alpha + \beta}$

$\text {if }\exists x_0,y_0\in [a,b]\text{ s.t. }x_0<y_0\:,\:g(x_0).g(y_0)<0 \implies \exists z_0\in(x_0,y_0)\text{ s.t. }g(z_0)=0\text{ Contradiction!}\implies \forall x,y\in[a,b]:g(x)g(y)>0$

بدون کاستن از کلیت مساله فرض کنید

$\forall x\in[a,b]:g(x)>0$

(حالت مشابه کاملا به طور مشابه بررسی می شود) :

$g(a)>0\implies (\alpha +\beta )f(a)> \alpha f(a)+\beta f(b) \implies f(a)>f(b)$

$g(b)>0\implies (\alpha +\beta )f(b)> \alpha f(a)+\beta f(b) \implies f(b)>f(a)$

که تناقضه. پس فرض خلف باطل و حکم مساله درست است :4: :115:

zz_torna2 · 1391/4/8

پاسخ : .::ماراتن دیفرانسیل::.

راه خودم.

طبق قضیه مقدار اکسترمم میدانیم چون f پیوسته است پس حتما در

$[a,b]$

دارای max=M و min=m هستش پس:

$\left\{\begin{matrix}m\leq f(a)\leq M\Rightarrow \frac{\alpha }{\alpha +\beta }m\leq \frac{\alpha }{\alpha +\beta }f(a)\leq \frac{\alpha }{\alpha +\beta }M \\ m\leq f(b)\leq M\Rightarrow \frac{\beta }{\alpha +\beta }m\leq \frac{\beta }{\alpha +\beta }f(b)\leq \frac{\beta }{\alpha +\beta }M \end{matrix}\right.\overset{+}{\rightarrow}m\leq \frac{\alpha }{\alpha +\beta }f(a)+\frac{\beta }{\alpha +\beta }f(b)\leq M$

حالا چون f پیوسته هست,طبق قضیه مقدار میانی (اگه اشتباه نکنم) وجد دارد c در فاصله ی

$[a,b]$

وجود دارد به قسمی که:

$\frac{\alpha }{\alpha +\beta }f(a)+\frac{\beta }{\alpha +\beta }f(b)=f(c)$

zz_torna2 · 1391/4/8

پاسخ : .::ماراتن دیفرانسیل::.

سوال بعدی.(بدون شرح :4: :115

$\lim_{n \to \infty }(Arctan\frac{1}{2}+Arctan\frac{1}{8}+...+Arctan\frac{1}{2n^{2}})=?$

threehandsnal · 1391/4/8

پاسخ : .::ماراتن دیفرانسیل::.

zz_torna2 گفت

قشنگ بود :3:

$\tan(a+b)=\frac{\tan(a)+\tan (b)}{1-\tan(a)\tan(b)}\rightarrow a=\arctan(x),b=\arctan(y)\implies {\tan(\arctan(x)+\arctan(y))=\frac{x+y}{1-xy}} \implies \boxed{\arctan(x)+\arctan(y)=\arctan\left ( \frac{x+y}{1-xy} \right )}$

پس:

$\arctan(\frac{1}{2})+\arctan(\frac{1}{8})+\arctan(\frac{1}{18})+...=\arctan(\frac{2}{3})+\arctan(\frac{1}{18})+...=\arctan(\frac{3}{4})+\arctan(\frac{1}{32})+...$

این ایده به ذهن آدم میرسه:

$\sum_{k=1}^{n}\arctan\left (\frac{1}{2k^2} \right )=\arctan\left ( \frac{n}{n+1} \right )$

حکم برای پایه درسته. فرض کنید واسه n درسته. میخوایم برای n+1 ثابتش کنیم:

$\sum_{k=1}^{n+1}\arctan\left ( \frac{1}{2k^2} \right )=\arctan\left ( \frac{n}{n+1} \right )+\arctan\left ( \frac{1}{2(n+1)^2} \right )=\arctan\left ( \frac{\frac{n}{n+1}+\frac{1}{2(n+1)^2}}{1-\frac{n}{2(n+1)^3}} \right )=\arctan\left ( \frac{\frac{2n^2+2n+1}{2(n+1)^2}}{\frac{(n+2)(2n^2+2n+1)}{2(n+1)^3}} \right )=\arctan\left ( \frac{n+1}{n+2} \right )$

پس حکم ثابت شد.

$\sum_{k=1}^{\infty }\arctan\left ( \frac{1}{2k^2} \right )=\lim_{x\to \infty }\arctan\left ( \frac{n}{n+1} \right )=\arctan(1)=\boxed{\frac{\pi}{2}}$

zz_torna2 · 1391/4/8

پاسخ : .::ماراتن دیفرانسیل::.

threehandsnal گفت

قشنگ بود ولی میتونستی بدون استقرا حلش کنی کافی بود از همین قضیه و قاعده تلسکوپی در سری ها استفاده میکردی فقط کافی بود :

$arctan\frac{1}{2k^{2}}=arctan(\frac{\frac{1}{(2k-1)}-\frac{1}{(2k+1)}}{\frac{1}{(2k-1)(2k+1)}+1})$

:3::115:

orion · 1391/4/10

پاسخ : .::ماراتن دیفرانسیل::.

دیگه سوال ندارید؟؟

threehandsnal · 1391/4/10

پاسخ : .::ماراتن دیفرانسیل::.

orion گفت

من خودم سوالی ندارم که بخوام بذارم ولی zz_torna2 گفته که یکشنبه میاد سوال میذاره :3:

threehandsnal · 1391/4/11

پاسخ : .::ماراتن دیفرانسیل::.

یه جزوه آموزش حد از پایه تا نیمه پیشرفته و 100 تا سوال! حالشو ببرید :4:

AoPS Forum - A collection of limits • Art of Problem Solving

یه دعا هم واسه جمع آوری کننده اش بکنید! :4:

zz_torna2 · 1391/4/12

پاسخ : .::ماراتن دیفرانسیل::.

سوال بعدی

$p\in N,a_{1},\, a_{2}\,, ..., a_{p}\in R^{+}:\lim_{n \to \infty }\sqrt[n]{a_{1}^{n}+a_{2}^{n}+...+a_{p}^{n}}=?$

threehandsnal · 1391/4/12

پاسخ : .::ماراتن دیفرانسیل::.

zz_torna2 گفت

تو همون لینکی که گذاشتم سوال 12 صفحه 27:

seyed iman · 1391/4/12

پاسخ : .::ماراتن دیفرانسیل::.

سوال (؟؟)
سه تا سوال تو ذهنمه...نمیدوستم کدومو بگم ...این یکیش...دومی هم شبیه اینه...سومی شبیه اینا نیست کلن.
این انتگرال را حساب کنید.
http://up.vatandownload.com/images/82je4c46ly9gra2yvbc6.jpg

zz_torna2 · 1391/4/12

پاسخ : .::ماراتن دیفرانسیل::.

سوال بعدی.

$\lim_{x\rightarrow 0^{+}}x^{x^{x}}$

=؟

SMASZOP · 1391/4/12

پاسخ : .::ماراتن دیفرانسیل::.

اینم جوابش:

.::ماراتن دیفرانسیل::.

New Member

New Member

Well-Known Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

Well-Known Member

New Member

New Member

New Member

New Member

Well-Known Member

New Member

مشاور فیزیک