ماراتن سوالات pen

math · 1391/4/5

سلام

داشتم توی ماراتن ها یک گشتی می زدم که دیدم اصلا ماراتنی برای سوالات PEN وجود نداره !!!!!

گفتم یک ماراتن هم برای PEN باشه بد نیست !!!!(البته باتوجه به این که بخش ریاضی الان یکی دو ماهیه اصلا فعالیت نداره فکر کنم اولین و اخرین پست این تاپیک خودم باشم)

برای همین خواهش میکنم این جا رو ادامه بدید !!!!

سوال اولی هم خودم میذارم برای شروع :

برای

$n\geq 3$

ثابت کنید

$1989\mid n^{n^{n^{n}}}-n^{n^{n}}$

POURIYA- F · 1391/4/5

پاسخ : ماراتن سوالات pen

$1989$

را تجزیه میکنیم و بعد با قضیه اویلر ثابت میکنیم

$n^{n^{n^{n}}}\equiv n^{n^{n}}$

به پیمانه ی عوامل اول

$1989$

هم نهشتند.

POURIYA- F · 1391/4/5

پاسخ : ماراتن سوالات pen

من میگم وقتی سوالا تو Mathlink هست چه نیازی به ماراتنه!!

AoPS forum - Number Theory • Art of Problem Solving

math · 1391/4/5

پاسخ : ماراتن سوالات pen

اول اینکه تمام سوال ها در انجا نیست دوم تقریبا بیشتر سوالات توی ان جا هست یعنی دیگه نباید توی مراتن ها گذاشته شوند ؟؟؟؟:197:

راه حل تون خوب معلومه که باید این کار را بکنیم چه جوری ثابت میشه ؟؟؟؟

کامل بنویسید !!!!

لطفا وقتی سوالی حل میکنید سوال بعد را هم بذارید !!

POURIYA- F · 1391/4/5

پاسخ : ماراتن سوالات pen

POURIYA- F گفت

$1989=3.3.13.17$

حالا من ثابت میکنم

$n^{n^{n^{n}}}\equiv n^{n^{n}}(mod9)$

مال

$13$

و

$17$

هم مثل همین ثابت میشه.

برای این که درستی عبارت بالا رو ثابت کنیم اگر داشته باشیم

$n=3k$

به سادگی اثبات میشه در غیر این صورت طبق قضیه اویلر باید ثابت کنیم

$n^{n^{n}}\equiv n^{n}(mod \varphi (9)=6)$

که نتیجه میده

$n^{n^{n}}\equiv n^{n}(mod 3) ,(mod 2)$

برا ی پیمانه 2 با زوجیت براحتی ثابت میشه و برای پیمانه 3

دوباره از قضیه اویلر استفاده می کنیم داریم

$n^{n}\equiv n (mod \varphi (3)=2)$

که این هم با زوجیت ثابت میشه.

2

تمام

$n$

هایی را بیابید که

$2^{n-1}|n!$

math · 1391/4/5

پاسخ : ماراتن سوالات pen

POURIYA- F گفت

میدانیم

پس داریم

$s_{2}(n)\leq 1\Rightarrow s_{2}(n)=1$

پس تمام

$n=2^{x}$

جواب مساله هستن

سوال بعد :

${\color{Red} 3}$

تمام توابع

$f:N\rightarrow N$

را بیابید که

$f(f(m)+f(n))=m+n$

MBGO · 1391/4/5

پاسخ : ماراتن سوالات pen

سلام

سوال اول تو همین سایت داده شده و تکراریه.

همه ی سوالات بخش A,H,E و چند تا دیگه تو AoPS هست....شاید تو تاپیک مخصوص به خودش نباشه اما هست.

math · 1391/4/5

پاسخ : ماراتن سوالات pen

MahanBabol گفت

اونجا AoPS هستش و این جا IRYSC و باهم فرق دارن !!!!! (اگر این طوری باشه همشون توی PEN هست :4::4

math · 1391/4/6

پاسخ : ماراتن سوالات pen

دوستان این جا یک مارتنه اگر میخواید شرکت کنید بفرمایید ولی اگر هم نمیخواید این قدر نگید همشون اونجا هست این جا هست و.... !!!!!

اگر استقبال شد که ادامه پیدا میکنه و اگر هم نشد بعد یک مدت خودش از ذهن همه میره !!!!من سوال قبل رو یک بار دیگه میذارم

${\color{Red} 3}$

تمام توابع

$f:N\rightarrow N$

را بیابید که

$f(f(m)+f(n))=m+n$

threehandsnal · 1391/4/6

پاسخ : ماراتن سوالات pen

mathh گفت

اول ثابت میکنیم یک به یکه.

$f(m)=f(n)\implies f(m)+f(k)=f(n)+f(k) \implies f(f(m)+f(k))=f(f(n)+f(k))\implies m+k=n+k\implies m=n$

پس داریم:

$\forall n _{\geq 2}:f(f(n)+f(1))=f(f(n-1)+f(2))\implies f(n)+f(1)=f(n-1)+f(2)\implies f(n)-f(n-1)=f(2)-f(1)=\text{Constant}$

پس داریم

$f(n)=an+b$

. حالا توی رابطه جایگذاری میکنیم:

$m+n=f(f(m)+f(n))=f(a(m+n)+2b)=a^2(m+n)+b(2a+1)\implies a=1,b=0 \implies \boxed{f(n)=n}$

پ.ن: من سوالی ندارم. خودتون بذارین. موفق باشین :1:

POURIYA- F · 1391/4/6

پاسخ : ماراتن سوالات pen

4

$A=\frac{(m+3)^{n}+1}{3m}$

$m$

,

$n$

اعداد طبیعی اند که

$A$
عددی است صحیح. ثابت کنید

$A$
فرد است.

math · 1391/4/6

پاسخ : ماراتن سوالات pen

POURIYA- F گفت

یک راه حل دیگه :

کافی است ثابت کنیم

$v_{2}(m)=v_{2}((m+3)^{n}+1)$

داریم :

$m=even$

چون در غیر این صورت بدیهی میشود !!!

$n=odd$

(چرا؟؟؟ (به پیمانه 3 برسی کنید :4

)

پس داریم :

$2^{q} \parallel (3+m)^{n}+1 \Rightarrow q=\left \| 4+m \right \|_{2}+\left \| n \right \|_{2}\Rightarrow 2^{q}\parallel 4+m \Rightarrow q\leq 2$

حال حالت بندی میکنیم :

$q=1$

خیلی بدیهیه به عهده شما !!!!!:4:

$q=2$

داریم :

$4\parallel 4+m\Rightarrow 4\parallel m\Rightarrow v_{2}(m)=v_{2}(m+4)=v_{2}((m+3)^{n}+1)$

پس اثبات کامل است

$\blacksquare$

سوال بعد هم الان میذارم !!!!:4:

math · 1391/4/6

پاسخ : ماراتن سوالات pen

mathh گفت

اینم سوال بعد :

ثابت کنید عدد زیر همواره صحیح است :65:

$\prod_{i=1}^{n}(4-\frac{2}{i})$

threehandsnal · 1391/4/6

پاسخ : ماراتن سوالات pen

mathh گفت

$\prod_{i=1}^{n}(4-\frac{2}{i})=2^n\prod_{i=1}^{n}(\frac{2i-1}{i})=\frac{2^n.1.3.5.7...(2n-1)}{n!}=\frac{2^n.(2n)!}{n!.(2.4.6...(2n-2).2n)}=\frac{2^n.(2n)!}{n!.n!.2^n}=\binom{2n}{n}$

math · 1391/4/8

پاسخ : ماراتن سوالات pen

سوال بعد :

تمام

بیابید که

مقسوم علیه

باشد

[TABLE]
[TR="class: res_gen"]
[TD="class: row1"][/TD]
[/TR]
[TR]

[/TR]
[/TABLE]

threehandsnal · 1391/4/8

پاسخ : ماراتن سوالات pen

mathh گفت

سوال قشنگی بود :3:

فرض کنید

$a,b,c$

ای با این شرایط وجود دارد. حالا میبینیم اینا چه شرایطی دارن!

واضحه که

$2^c=1(\mod 2^c-1)$

هست و

$c>0$

هست. حالا

$a,b$

رو بر

$c$

تقسیم میکنیم:

$\left\{\begin{matrix} a=ck+r\\ b=ct+s \end{matrix}\right.\text{ s.t. }0\leq r\leq s\leq c-1$

$2^c-1|2^a+2^b+1\implies 0=2^a+2^b+1=(2^c)^k.2^r+(2^c)^t.2^s+1=2^r+2^s+1\:\:\:\:(\text{mod } 2^c-1)$

پس:

$2^c-1|2^r+2^s+1\implies 2^c-1\leq 2^r+2^s+1\implies 2^c\leq 2^r+2^s+2\leq 2^{s+1}+2\implies \text{if }c>2:c\leq s+1\textbf{ (1)}$

$s\leq c-1\implies s+1\leq c\textbf{ (2)}$

$\textbf{ (1) , (2)}\implies s=r=c-1$

$\implies 2^c-1|2\times 2^{c-1}+1=2^c+1\implies 2^c-1|2\implies c=1\:,\:c>2\text{ Contradiction!}$

پس فقط میمونه حالاتی که

$c=1,c=2$

.

1)

$c=1$

که بدیهیه جوابهای

$(a,b,c)=(m,n,1)\:(m,n\in \mathbb{N}\cup \left \{ 0 \right \})$

رو میده.

2)

$c=2$

یعنی:

$3|2^a+2^b+1\:\text{ But }2^2=1(\mod 3)$

$\left\{\begin{matrix} a=2k+r\\ b=2t+s \end{matrix}\right.\text{ s.t }r,s\in \left \{ 0,1 \right \}$

با امتحان کردن حالات میبینیم تنها جوابها

$(a,b,c)=(2m,2n,2)$

هست.

پس مجموعه جواب میشه:

$\boxed{(a,b,c)=(m,n,1);(2m,2n,2)}\:\:(m,n\in \mathbb{N}\cup \left \{ 0 \right \})$

math · 1391/4/10

پاسخ : ماراتن سوالات pen

لینک سوالات pen :

http://www.math.muni.cz/~bulik/vyuka/pen-20070711.pdf:3:

ویرایش توسط Yousefi:

لینک اصلاح شد، لینک جدید : http://www.math.muni.cz/~bulik/vyuka/pen-20070711.pdf

MBGO · 1391/4/10

پاسخ : ماراتن سوالات pen

mathh گفت

اینجا وفتی n به پیمانه 17 برابر 2 است، و با توجه به اینکه فی 2 به پیمانه 17 برابر 8 است، چجوری میشه گفت طرف چپ معادله بر 17 قابل قسمت است؟

M_Sharifi · 1391/4/11

پاسخ : ماراتن سوالات pen

threehandsnal گفت

کجاش بدیهیه؟ این همون حکم مسئله هستش!

mathh گفت

چرا؟ ظاهرا درست نیست.

پی نوشت: اولا راه حل هاتون رو چک کنید که مشکلی نداشته باشه. ثانیا دیگران که تشکر میکنند، مگه راه حل ها رو نمی خونند؟ اگه راه حل مشکل اساسی داره، تشکر چه معنایی داره؟

threehandsnal · 1391/4/11

پاسخ : ماراتن سوالات pen

M_Sharifi گفت

اولی:
بدیهیه چونکه بالاترش اثبات کردم m|3^n+1 و پس 2m اینو میشماره. و در ضمن n فرده پس اون قسمت زوجه پس اونم بر 2m بخشپذیره. بدیهی میشه دیگه :115:

ماراتن سوالات pen

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

راهبر ریاضی

New Member