.::ماراتن 4 درس ::.

math · 1392/5/6

سلام

باتوجه به این که چندین ماراتن با ایده های مختلف زده شد و هیچ کدوم استقبال نشد گفتم از اون جایی که استقبال نمیشه من هم بر تعداد پست هام بیفزایم :205:

لطفا همکاری کنید چون الان بچه های ریاضی کم نیستن و بخش ریاضی خوب توش پست گذاشته میشه

من 8 سوال رو میزارم ( ترکیبیات و جبر و نظریه اعداد و هندسه )

لطفا هر کسی که سوالی رو از مبحثی حل میکنه در همون مبحث سوالی بذاره

در ضمن سوالا رو من در دو سطح مرحله دو و مرحله 3 میزارم ( لطفا همین روند رو ادامه بدید )

جبر :

سطح 1 ( مرحله 2 )

همه

$x,y,z$

هایی را بیابید که: ( حقیقی)

$x^2+y^2+z^2+1=xy+yz+zx+|x-2y+z|$

سطح 2 (مرحله 3 )

فرض کنید

$p(x)\in \mathbb{Z}[X]$

و دارای n ریشه صحیح متمایز باشد . ثابت کنید

$p(x)^{2}+1$

عاملی با درجه دست کم

$2\left \lfloor \frac{n+1}{2} \right \rfloor$

دارد که در

$\mathbb{Z}[X]$

تحویل ناپذیر است .

نظریه اعداد :

سطح 1 :

معادله مقابل را در مجموعه اعداد صحیح نامنفی حل کنید

$2^a3^b+9=c^2$

سطح 2 :

ثابت کنید در بسط اعشاری

$\sqrt{2}$

بین رقم یک میلیونیم تا 3 میلینیم حداقل یک رقم ناصفر وجود دارد .

ترکیبیات :

سطح 1:

آیا 4 نقطه در صفحه وجود دارند که فاصله هر دو تای آنها فرد باشد.

سطح 2:

در یک جمع

$2n+1$

میدانیم در بین هر

$n$

نفر یک نفر وجود دارد ( غیر از انها ) که با همه

$n$

تا دوست است . ثابت کنید شخصی وجود دارد که باهمه دوست است .

هندسه :

سطح 1:

در مثلث

$ABC$

زاویه

$A$

منفرجه است و

$B=2C$

. در نقطه

$C$

بر ضلع

$AC$

عمودی رسم میکنیم تا خط

$AB$

را در

$D$

قطع کند . اگر

$M$

وسط

$BC$

باشد ثابت کنید

$\angle AMB=\angle DMC$

سطح 2:

$M$

وسط

$BC$

از مثلث

$ABC$

است و داریم :

$AC=AM+AB$

. دایره محاطی مثلث میانه

$AM$

را در

$X,Y$

قطع میکند . نشان دهید

$\angle XIY=120$

msaeids · 1392/5/6

پاسخ : .::ماراتن 4 درس ::.

خیلی ایده ی خوبیه
پاسخ سوال ترکیبیات سطح 2
سعی کنید ثابت کنید که n+1 نفر داریم که دوبدو هم دیگه رو میشناسن
بقیش دیگه سادس
اگه بیشتر توضیح نمیدم یا لاتکس نکردم به خاطر اینه که الان 12 شبه
سوال جایگزین
اعداد 1تا 100 رو در یک جدول 10*10 چیدیم
در هر مرحله میتونیم جای هر دو تا رو با هم عوض کنیم
ثابت کنید میشه 35 حرکت انجام داد که مجموع اعداد خانه های مجاور عددی مرکب باشد
خونه های مجاور ها خونه هایی اند که ضلع مشترک دارند

nima1376 · 1392/5/7

پاسخ : .::ماراتن 4 درس ::.

هندسه
1-همساز(از m بر خودش عمودی بزنید کهbd را قطع کند . این 4 تا همسازند.
[HR][/HR]
2-مساحت

---- دو نوشته به هم متصل شده است ----

نظریه
1- 9 رو ساده کنید.بعد مزدوج(ب م م دو پرانتز 2 است).

---- دو نوشته به هم متصل شده است ----

ترکیبیات
2-خوشه درست کنید.
1-قضیه کسینوس ها رو به پیمانه 2 ببینید.

---- دو نوشته به هم متصل شده است ----

سوال هندسه
در مثلث abc از h دو خط عمود برهم
میکشیم تا abوac را درeوf قطع کند.
ef دایره به قطر bc را درm قطع کند.
نشان دهید cm موازی he است.

msaeids · 1392/5/7

پاسخ : .::ماراتن 4 درس ::.

نظریه 1 و هندسه و ترکیبیات 1 رو جایگزین کنید دیگه
لطفا هم یه مقداری کامل تر بنویسید جوابهاتون رو
سوالتون رو هم درست کنید
m رو تعریف کردید ولی استفاده نکردید
k رو هم تعریف نکردید
آیا m=k؟

a$hk@n · 1392/5/7

پاسخ : .::ماراتن 4 درس ::.

در بین n نفر اگه یه شخص باشه که با n تا دوست باشه که یعنی طرف با خودش هم دوسته که؟؟؟
لطفا یه کسی توضیح بدهد ممنون

nima1376 · 1392/5/7

پاسخ : .::ماراتن 4 درس ::.

بله m=k
(در سوال هندسه جدید)
سطح سوال = جهانی سوال 5

---- دو نوشته به هم متصل شده است ----

نظریه
تمام توابعی از اعداد طبیعی به خودش را بیابید که
f(m) +f(n)
m+n
به توان k
رو عاد کنه.
سطح سوال = جهانی سوال3

---- دو نوشته به هم متصل شده است ----

ashkant گفت

یه نفره خارج از n نفره

math · 1392/5/7

پاسخ : .::ماراتن 4 درس ::.

دوستان این طوری نه مارتن میشه نه باعث پیشرفت میشه

بهتره جواب ها رو کامل تر و با وقت بیشتری بنویسید

در ضمن برای سوال ترکیبیات حواستون باشه سوال جوب خوری هستش

nima1376 · 1392/5/7

پاسخ : .::ماراتن 4 درس ::.

ترکیبیات
1-مربعی به ضلع 1 داریم
مثلثی درون آن است که مرکز مربع خارج آن است.
ثابت کنید ضلعی از مثلث کمتر از 1 است.

msaeids · 1392/5/7

پاسخ : .::ماراتن 4 درس ::.

چون جناب math خیلی اصرار دارن که حل ها کامل باشه و حق دارن چون اینذاته ماراتونه
من سوال ترکیبیات سطح 2 رو جوابش رو میذارم
ابتدا دو نفر رو میگیریم که همدیگه رو بشناسن
با تو جه به شرط سوال بدیهیه که دو نفر با این شرایط داریم
حالا این هارو با

$n-2$

نفر دیگه بگیرید
یکی هست که همشونو میشناسه
پس ما سه نفر داریم که هر دو تایی همدیگه رو میشناسن
حالا این رو میشه گسترش داد به

$n+1$

نفر که هر دو تا همدیگه رو میشناسن
خوب اون

$n$

نفر بقیه رو بگیرید
یکی از این

$n+1$

نفر هست که همشونو میشناسه
پس حکم اثبات شد
سوال روسیه 2002 بوده
با اکسترمال هم راه حل داره
حالا سوال جایگزین
اعداد

$1$

تا

$100$

در یک جدول10*10 چیده شده اند
در هر مرحله میتوانیم جای هر دو عددی را که میخواهیم با هم عوض کنیم
ثابت کنید میتوان

$35$

حرکت انجام داد به گونه ای که مجموع اعداد واقع در خانه های مجاور عددی مرکب باشد

---- دو نوشته به هم متصل شده است ----

پاسخ تر کیبیات 1
سه ننقطه رو در نظر بگیرید که فواصلشون a,b باشند که هردوشون هم فردند
حالا واسه سومی که c باشه قضیه کسینوس بنویسید و همنهشتی به پیمانه دو بزنید
نتیجه میگیریم که c زوجه
جایگزین:
یه سوال خیلی کلاسیک و قدیمی
فردی دور یک دایره به محیط یک راه میرودبا طول قدم

$\alpha$

که عددی گنگ است
روی این دایره گودالی به قطر

$\epsilon$

داریم ثابت کنید قطر گودال هر چه کوچک باشد شخص در آن میافتد
بیانی دیگر
ثابت کنید برای هر عدد گنگ

$\alpha$

و عدد حقیقی ومثبت

$\epsilon$

عدد طبیعی

$n$

موجود است که

$\left \{ n\alpha \right \}<\epsilon$

ب) به مرکز هریک از نقاط شبکه ای دایره ای به شعاع

$\alpha <1$

رده ایم
ثابت کنید مثلث متساوی الاضلاعی داریم که رووسش داخل این دایره ها باشند

math · 1392/5/7

پاسخ : .::ماراتن 4 درس ::.

math گفت

چون تقزیبا!!!! تمام سوالا ایده براشون وجود داشت به غیر از قسمت جبر من یه راهنمایی میکنم

سوال اول خیلی سادست ( راهنمایی نداره ! )

سوال دوم مشتق بگیرید !!

msaeids · 1392/5/7

پاسخ : .::ماراتن 4 درس ::.

مساله یک نظریه اعداد
اگر

$b=0$

آنگاه داریم

$2^a=(c-3)(c+3)\to c-3=2^\alpha , c+3=2^\beta \to \alpha=1 ,\beta=3$

اگر

$b=1$

جوابی نداریم چرا که طرفین تساوی به پیمانه 9 همنهشت نیستند
اگر

$b \geq 2 \to c^2=9k^2$

$\to (s-1)(s+1)=2^a.3^{b-2}(chon gcd(s-1,s+1)=2)\to ... \to b=2,a=3 or b=3 , a=4 or b=3,a=3 or b=4 , a=5$

اون سه نقطه هایی که اون وسط زدم در واقع اصل کار مهم تو مساله بود
ولی دیگه خیلی هم سخت نیست
لطفا خودتون انجامش بدید
مساله جایگزین:
همه

$m,n$

های طبیعی را بیابید که

$\frac{n^3+1}{mn-1}\in \mathbb N$

---- دو نوشته به هم متصل شده است ----

راه من برای سوال اول جبر خیلی طولانیه
اگر کسی راه کوتاهی داره و یا انقدر حوصله داره که یه راه طولانی رو پست کنه لطفا زحمتشو بکشه
سوال همندسه جایگزین مفهم نیست
ef دایره رو فقط تو یه نقطه قطع میکنه؟
اون دو تا خط اولو رو چجوری میکشیم؟
اگه ممکنه شکلشو بذارید
(البته میدونم که سوال های قبلی هنوز راه کاملشون پست نشده)

nima1376 · 1392/5/7

پاسخ : .::ماراتن 4 درس ::.

لطف کنید تا سوال ها به طور کامل حل نشده سوال نگذارید.

eمرکز ارتفاعیdbc.
eg و eh بر هم عمودند.
ثابت کنید ch موازی eg

nima1376 · 1392/5/8

پاسخ : .::ماراتن 4 درس ::.

کسی نمی خواد جواب بده؟؟

fereidoon · 1392/5/8

پاسخ : .::ماراتن 4 درس ::.

میشه بگی این شکل چه جوری بدست اومده؟!!

msaeids · 1392/5/8

پاسخ : .::ماراتن 4 درس ::.

ببخشید کدوم شکل دقیقا؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟

mohamadreza salehi · 1392/5/8

پاسخ : .::ماراتن 4 درس ::.

msaeids گفت

مساله یک نظریه اعداد
اگر

$b=0$

آنگاه داریم

$2^a=(c-3)(c+3)\to c-3=2^\alpha , c+3=2^\beta \to \alpha=1 ,\beta=3$

اگر

$b=1$

جوابی نداریم چرا که طرفین تساوی به پیمانه 9 همنهشت نیستند
اگر

$b \geq 2 \to c^2=9k^2$

$\to (s-1)(s+1)=2^a.3^{b-2}(chon gcd(s-1,s+1)=2)\to ... \to b=2,a=3 or b=3 , a=4 or b=3,a=3 or b=4 , a=5$

اون سه نقطه هایی که اون وسط زدم در واقع اصل کار مهم تو مساله بود
ولی دیگه خیلی هم سخت نیست
لطفا خودتون انجامش بدید
مساله جایگزین:
همه

$m,n$

های طبیعی را بیابید که

$\frac{n^3+1}{mn-1}\in \mathbb N$

---- دو نوشته به هم متصل شده است ----

راه من برای سوال اول جبر خیلی طولانیه
اگر کسی راه کوتاهی داره و یا انقدر حوصله داره که یه راه طولانی رو پست کنه لطفا زحمتشو بکشه
سوال همندسه جایگزین مفهم نیست
ef دایره رو فقط تو یه نقطه قطع میکنه؟
اون دو تا خط اولو رو چجوری میکشیم؟
اگه ممکنه شکلشو بذارید
(البته میدونم که سوال های قبلی هنوز راه کاملشون پست نشده)

راه حل نظریتون اینه کسر مساوی یه k بگیرید بغد روی اندازه ی متغیر ها حالت بندی کنید سوالتون خیلی شبیه یه سوال المپ جهانیه شایدم خودشه اگه اشتباه نکنم

aboly · 1392/5/8

پاسخ : .::ماراتن 4 درس ::.

msaeids گفت

این سوال نیاز به حالت بندی های زیادی داره و راه حل من خیلی طولانی هست

پس فقط جواب ها را مینویسم :

1- m=2 n=1
2- n=2 m =1
3- m=3 n =1
4- n=3 m=1
5- n=2 m=2

سوال جدید : معادله را در اعداد طبیعی حل کنید
(x+y)(1+xy)=
2[SUP]z[/SUP]

nima1376 · 1392/5/8

پاسخ : .::ماراتن 4 درس ::.

جناب fereidoon
توضیحشو صفحه قبل دادم
فقط اسماش فرق میکنه

msaeids · 1392/5/8

پاسخ : .::ماراتن 4 درس ::.

aboly گفت

حالت بندی هاش زیاد هست
ولی ایکاش یه کم بیشتر توضیح میدادید
جوابهاتون شامل جابه جایی m,n هم میشه
ایکاش همون تیکه بدون حالت بندیشو مینوشتید

Armin_sf · 1392/5/8

پاسخ : .::ماراتن 4 درس ::.

ببخشيد من اون سوالي كه aboly راه حلشو گفت نفهميدم ميشه توضيح بديد؟؟؟
b چي هست دقيقا؟؟!!!

.::ماراتن 4 درس ::.

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

Active Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member