.::ماراتن 4 درس ::.

Dadgarnia · 1393/11/22

پاسخ : .::ماراتن 4 درس ::.

AHZolfaghari گفت

يه راه ديگه هم داره كه با استفاده از اينكه C مركز دايره ي محيطي مثلث

$PA_0B_0$

هست حكم رو به راحتي مي تونيم نتيجه بگيريم.
لطفا سوال بعد رو هم بذارين.

AHZolfaghari · 1393/11/22

پاسخ : .::ماراتن 4 درس ::.

dadgarnia گفت

احسنت .... احسنت .... بله کاملا درسته !!! من حیث المجموع باید ثبات می کردیم که ca_0p متساوی الساقینه !!
سوال بعد هندسه :
در چهارضلعی abcd میدونیم زاویه abd دو برابر acd است و زاویه cbd دو برابره cad است . ثابت کنید ab = bc .

REZA 73 · 1393/11/23

پاسخ : .::ماراتن 4 درس ::.

Dadgarnia گفت

نظريه اعداد:
ابتدا حالت هايي رو كه يكي از

$p,q$

برابر با دو يا سه باشند رو بررسي مي كنيم كه جواب هاي

$(p,q)=(2,3),(3,2)$

بدست مياد. حالا فرض مي كنيم

$p,q>3$

. حالا با توجه به شرطي كه گذاشتيم

$q^2|p^3-1$

يا

$q^2|p^3+1$

حالا دقت كنيد كه اگه

$p^2|q+1$

بدست مياد:

$q\geq p^2-1,q^2\leq p^3\pm 1\Rightarrow p^4-2p^2+1\leq p^3\pm 1$

نامساوي بالا به ازاي

$p>2$

غلطه به طور مشابه حالت هاي

$q^2|p\pm 1$

رد مي شوند پس

$p^2|q^2-q+1$

و

$q^2|p^2+p+1$

يا

$q^2|p^2-p+1$

. ابتدا حالت اول رو بررسي مي كنيم. در اين حالت داريم:

$q^2\leq p^2+p+1<(p+1)^2\Rightarrow q\leq p\Rightarrow q^2\leq p^2\leq q^2-q+1\Rightarrow q\leq 1$

كه تناقضه. توي حالت دوم داريم:

$p^2\leq q^2-q+1,q^2\leq p^2-p+1\Rightarrow p^2+q^2\leq p^2+q^2-p-q+2\Rightarrow p+q\leq 2$

كه اين هم تناقضه. پس جواب هاي مسئله

$(p,q)=(2,3),(3,2)$

هستند.

---- دو نوشته به هم متصل شده است ----

سوال هاي موجود:

هندسه:

در مثلث قائم الزاويه ABC (

$\angle C=90^{\circ}$

)

$A_0,B_0$

به ترتيب محل تماس دايره ي محاطي داخلي با اضلاع

$BC,AC$

هستند. اگر I مركز دايره محاطي داخلي باشد محل برخورد عمودهايي كه از نقاط

$A_0,B_0$

به ترتيب بر

$AI,BI$

وارد مي شوند را P مي ناميم. ثابت كنيد PC بر AB عمود است.

تركيبيات:

ثابت كنيد به ازاي هر عدد طبيعي مانند n

$\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}2^k\binom{n-k}{\left \lfloor \frac{n-k}{2} \right \rfloor}=\binom{2n+1}{n}$

جبر:

اعداد حقيقي و مثبت

$r,s$

در رابطه ي

$(r+s-rs)(r+s+rs)=rs$

صدق مي كنند. حداقل مقدار

$r+s-rs$

و

$r+s+rs$

را بدست آوريد.

نظريه اعداد:

همه ي اعداد

$m,n\in \Bbb{N}$

و عدد اول

$p\geq 5$

را بيابيد كه

$m(4m^2+m+12)=3(p^n-1)$

سوال نظریه ی اعداد:

$4m^3+m^2+12m+3=3p^n\Rightarrow (m^2+3)(4m+1)=3p^n$

حالت اول :

$m=3k$

$(3k^2+1)(4m+1)=p^n$

حالت دوم:

$m=3k+2$

$(m^2+9)(4k+3)=p^n$

از طرفی:

$d|4m+1 ,d|m^2+3\Rightarrow d|m-12\rightarrow d|4m-48\rightarrow d|49$

$\Rightarrow ((m^2+3),(4m+1))=1,7,49$

پس واضحه که p باید 7 باشه. به ازای m=12 معادله جواب داره.

Dadgarnia · 1393/11/23

پاسخ : .::ماراتن 4 درس ::.

AHZolfaghari گفت

مركز دايره ي محيطي

$ACD$

رو

${B}'$

مي ناميم. اگه

${B}$

بر

${B}'$

منطبق نباشه داريم:

$\angle AB'D=2\angle ACD=\angle ABD$

پس

$AB'BD$

محاطيه. از طرف ديگه داريم:

$\angle CB'D=2\angle CAD=\angle CBD$

پس

$CBB'D$

محاطيه كه نتيجه ميده

$AB'CD$

محاطيه كه تناقضه پس

$B$

بر

$B'$

منطبقه كه حكم رو نتيجه ميده.

AHZolfaghari · 1393/11/23

پاسخ : .::ماراتن 4 درس ::.

dadgarnia گفت

یه کاریهم که من کردم و خوب بود این که محل برخورد دایره محیطی bac با خط bd رو p می نامیم . نتیجه میشه که d مرکز دایره محاطی acp است . پس pd نیمساز زاویه cpb است پس ba = bc . حالا سوال بعدی رو مرحمت کنید

Dadgarnia · 1393/11/23

پاسخ : .::ماراتن 4 درس ::.

هندسه:
Ah ارتفاعي از مثلث متساوي الاضلاع abc است. اگر i مركز دايره ي محاطي داخلي abh و نقاط j,k,l به ترتيب مراكز دايره هاي محاطي داخلي cai,bci,abi باشند اندازه زاويه ي kjl را بيابيد.

---- دو نوشته به هم متصل شده است ----

نظريه اعداد:
فرض كنيد p عددي اول باشد. مجموعه اي از p+2 عدد طبيعي را (كه لزوما متفاوت نيستند) جالب مي ناميم اگر مجموع هر p عدد از اين مجموعه مضربي از هر يك از دو عدد ديگر آن باشد. همه ي مجموعه هاي جالب را بيابيد.

REZA 73 · 1393/11/24

پاسخ : .::ماراتن 4 درس ::.

Dadgarnia گفت

سوال نظریه ی اعداد:
فرض کنید

$a_{1}$

بزرگترین عضو مجموعه باشد.

$a_{1}|a_{2}+...+a_{i-1}+a_{i+1}+...a_{p+2}$

$a_{1}|a_{2}+...+a_{j-1}+a_{j+1}+...a_{p+2}$

$a_{1}|a_{i}-a_{j}\Rightarrow a_{i}=a_{j},i,j\neq 1$

پس مجموعه ها میشن:

$\left \{ x,x,...x \right \}$

$\left \{ x,x,...,px \right \}$

الان درسته؟؟؟ :223:
چوم انگار خیلی خیلی ساده بود.

Dadgarnia · 1393/11/24

پاسخ : .::ماراتن 4 درس ::.

REZA 73 گفت

چه سوال راحتي! :4: چون من اينو خيلي عجيب و غريب حل كرده بودم فكر كردم سوال سختيه!
نظريه اعداد:
آيا اعداد طبيعي

$(a,b,c,d)$

وجود دارند كه

$\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=1$

و

$\frac{a}{d}+\frac{c}{b}=2008$

؟

aras2213 · 1393/11/24

پاسخ : .::ماراتن 4 درس ::.

Dadgarnia گفت

AIHC محاطی

$\angle AIH=120^{\circ},\angle ACH=60^{\circ}\rightarrow$

.یعنی

$\angle AIC=90^{\circ}$

.همچنین از اون جا که BI نیمسازه،

$JL=JK,BL=BK$

.فرض کنید M وسط AC باشه و O مرکز دایره محیطی مثلث BCJ.در این صورت

$\angle JOC=2\angle JBC=60,OJ=OC\rightarrow OJ=OC=JC$

.همچنین

$\angle ICJ=30^{\circ}$

.پس CK عمود منصف OJ هست و

$KJ=KO$

.در مثلث OJB نقطه K طوری قرار گرفته که

$\angle KBI=15^{\circ},KJ=KO$

و فقط یک نقطه با این دو ویژگی وجود داره . مرکز دایره محیطی OJB هم این دو ویژگی رو داره پس K مرکز دایره محیطی OJB هه و در نتیجه

$KJ=KB\rightarrow \angle KJL=30^{\circ}$

.

---- دو نوشته به هم متصل شده است ----

جبر:
آیا اشتباه میکنم؟
اگر سمت چپ رو ضرب کنیم به این میرسیم:

$r^2+rs+s^2=r^2s^2$

.داریم

$r^2+s^2+rs\geq 3rs\Rightarrow r^2s^2\geq 3rs\rightarrow rs\geq 3$

.پس

$r^2+s^2+rs\geq 9$

.

و

$r^2+s^2-rs=r^2s^2-2rs,r^2s^2-2rs\geq 3\rightarrow r^2+s^2-rs\geq 3$

. نامساوی وسط هم به خاطر این درسته که X^2-2X در بازه

$\left [ 3,+\infty \right ]$

اکیدا صعودیه.تساوی هم به ازای

$r=s=\sqrt{3}$

رخ میده.کجاش اشتباهه؟:216:

---- دو نوشته به هم متصل شده است ----

هندسه:فرض کنید ABC مثلث متساوی الساقینی باشد که AB=AC و D وسط AC باشد.نیمساز زاویه BAC دایره ای که از D,B,C میگذرد در E قطع میکند به طوری که E درون ABC قرار دارد.BD دایره ای را که از A,E,B میگذرد را در دو نقطه B,F قطع میکند.AF,BE همدیگر را در I قطع میکنند.CI,BD همدیگر را در K قطع میکنند.ثابت کنید I مرکز دایره محاطی KAB است.

Dadgarnia · 1393/11/24

پاسخ : .::ماراتن 4 درس ::.

aras2213 گفت

دقت كنيد كه سوال حداقل مقدار

$r+s+rs,r+s-rs$

رو مي خواد نه حداقل مقدار

$r^2+s^2+rs,r^2+s^2-rs$

!

aras2213 · 1393/11/24

پاسخ : .::ماراتن 4 درس ::.

Dadgarnia گفت

:4::4::4::4::4:

REZA 73 · 1393/11/24

پاسخ : .::ماراتن 4 درس ::.

Dadgarnia گفت

الان این درسته؟

$r+s+rs=x> 0$

$r+s-rs=y> 0$

برای این که

$r,s$

وجود داشته باشند باید داشته باشیم:

$r+s=\frac{x+y}{2},rs=\frac{x-y}{2}\Rightarrow (\frac{x+y}{2})^2\geq 4\R(\frac{x-y}{2})\Rightarrow (x+y)^2\geq 8(x-y)$

از طرفی طبق فرض داریم:

$2xy=(x-y)$

پس:

$y=\frac{x}{2x+1}$

پس باید داشته باشیم:

$(x+\frac{x}{2x+1})^2\geq 8(x-\frac{x}{2x+1})\Rightarrow (x+1)^2\geq 8x+4\Rightarrow x\geq \sqrt{12}+3$

به طریق مشابه برای

$y$

هم جواب به دست می آید.

Dadgarnia · 1393/11/26

پاسخ : .::ماراتن 4 درس ::.

جبر: :226::226::226:
برای اعداد حقیقی و مثبت

$a,b,c$

با شرط

$abc=1$

ثابت کنید:

$\sum_{cyc}\sqrt{3a^2+4}\leq \sqrt{7}\sum_{cyc}a$

REZA 73 · 1393/11/27

پاسخ : .::ماراتن 4 درس ::.

Dadgarnia گفت

بله وجود دارند:

$a=4015$

$b=8032$

$c=16128255$

$d=32248480$

اگه کسی خواست بگه راه حلم رو هم بذارم.ولی در کل میشه ثابت کرد بینهایت دسته جواب غیر موازی داره.

aras2213 · 1393/11/30

پاسخ : .::ماراتن 4 درس ::.

Dadgarnia گفت

اگه این نامساوی درست باشه ساده نیست:

$(\sum_{i=1}^{n} \sqrt{a_i+b_i})^2\leq (\sum_{i=1}^{n}\sqrt{a_i})^2+(\sum_{i=1}^{n} \sqrt{b_i})^2$

؟
(رو سمت چپ این نامساوی رو بزنیم،جهتش رو مطمن نیستم.ولی فکر کنم همین بود.)

Dadgarnia · 1393/11/30

پاسخ : .::ماراتن 4 درس ::.

aras2213 گفت

لطفا راه کاملتونو بنویسین تا ببینیم چی میشه! :4:

منتظرالمهدی · 1393/12/1

پاسخ : .::ماراتن 4 درس ::.

aras2213 گفت

برعکس این نامساوی درسته.

اگرطرفین رو باز کنیم باید ثابت کنیم:

$\sum_{i<j}\sqrt{(a_i+b_i)(a_j+b_j)}\ge\sum_{i<j}\sqrt{a_ia_j}+\sqrt{b_ib_j}$

که این هم از نابرابری کوشی نتیجه میشه.

AHZolfaghari · 1393/12/6

پاسخ : .::ماراتن 4 درس ::.

خب . دیگه تب و تاب مرحله اول و ... هم کم کم خوابید به نظر من بهتره که تاپیک ها رو ادامه بدیم .

.::ماراتن 4 درس ::.

Dadgarnia

New Member

AHZolfaghari

Well-Known Member

REZA 73

Active Member

Dadgarnia

New Member

AHZolfaghari

Well-Known Member

Dadgarnia

New Member

REZA 73

Active Member

Dadgarnia

New Member

aras2213

New Member

Dadgarnia

New Member

aras2213

New Member

REZA 73

Active Member

Dadgarnia

New Member

REZA 73

Active Member

aras2213

New Member

Dadgarnia

New Member

منتظرالمهدی

New Member

AHZolfaghari

Well-Known Member