مرحله ي دوم المپياد رياضي سال 89-88 (سوال 1)

M_Sharifi · 1389/2/8

دوستان شركت كننده در مرحله ي دوم المپياد رياضي، مي تونند جواب ها و نظراتشون رو در مورد سوال 1 در اين تاپيك مطرح كنند. (لطفا بحث هاي حاشيه اي رو در اين تاپيك مطرح نكنيد و فقط به لحاظ فني روي اين سوال بحث كنيد. درضمن لطف كنيد قبل از برگزاري آزمون، در اين تاپيك چيزي ننويسيد.)

$a$

و

$b$

دو عدد طبیعی اند و

$a>b$

. اگر دو عدد

$ab-1$

و

$a+b$

نسبت به هم اول باشند و دو عدد

$ab+1$

و

$a-b$

نیز نسبت به هم اول باشند، ثابت کنید

$(a-b)^2+(ab+1)^2$

مربع کامل نیست.

mrbayat · 1389/2/9

اول عبارت رو ساده می کنیم به دست می آد (a^2+1)(b^2+1) که باید مربع کامل باشه بعد ثابت می کنیم که این دوعبارت نسبت به هم اول اند و ...

farid_frd · 1389/2/9

راه من همینه کسی راه دیگه ای داره ؟

Amir Hossein Parvardi · 1389/2/9

farid_frd گفت

سلام.
نه ،منم همینجوری حل کردم.
این سوال سخت تر از مرحله 2 بود یا راحت تر!؟

farid_frd · 1389/2/9

راحت تر دیگه ...
اگه سخت تر بود که اصلا حل نمیکردم

seifi_seifi · 1389/2/9

راه حل من فرق ميكنه البته سخت تر هم هست.

ميدانيم جواب هاي اين معادله در

$a^2+b^2=c^2$

در اعداد طبيعي با شرط

$(a,b)=1$

برابر است با

$(a,b,c)=(x^2-y^2,2xy,x^2+y^2)$

.

حال داريم :

$(ab-1)^2+(a+b)^2=(ab+1)^2+(a-b)^2$

حال فرض كنيد :

$(ab-1)^2+(a+b)^2=(ab+1)^2+(a-b)^2=c^2$

طبق لم بالا داريم : يا

$ab-1=2xy , a+b=x^2-y^2$

و يا

$ab-1=x^2-y^2 , a+b=2xy$

كه حالت اول به سادگي رد ميشود.

اگر همين رابطه را براي

$(ab+1)^2+(a-b)^2=c^2$

هم بنويسيم بدست ميايد :

$ab+1=m^2-n^2 , a-b=2mn$

و چون

$(ab-1)^2+(a+b)^2=(ab+1)^2+(a-b)^2$

پس

$m^2+n^2=x^2+y^2$

.

حال داريم :‌

$ab+1=m^2-n^2 , ab-1=x^2-y^2\Rightarrow m^2-x^2+y^2-n^2=2$

و چون

$m^2-x^2=y^2-n^2$

پس

$m^2-x^2=y^2-n^2=1$

كه از اين هم نتيجه ميشود

$x=n=0 ,y=m=1$

و از اين بدست ميايد

$a+b=0$

كه تناقض است.

يكي بگه اين راه من درسته يا نه.

Amir Hossein Parvardi · 1389/2/9

farid_frd گفت

به نظر من که سخت بود.
ممکنه راهتو بنویسی ببینم چه جوری حلیدی؟

farid_frd · 1389/2/9

شایدم من زیادی جو گرفتتم ( نکنه یه سوتی خفن داده باشم

)
حل شو الان تایپ میکنم بذارم

r_sh · 1389/2/9

درسته آقاي سيفي ! يكي از دوستاي منم اينجوري حل كرده بود.

Amir Hossein Parvardi · 1389/2/9

farid_frd گفت

منتظرم،ممنون!
ولی نه،انشاءالله که جوب نداره!

farid_frd · 1389/2/9

باید ثابت کنیم :

$(a^{2}+1,b^{2}+1)=1$

فرض میگیریم :

$(a^{2}+1,b^{2}+1)=d , d\neq 1$

$\begin{cases} &\ d|a^{2}+1\\ &\ d|b^{2}+1 \end{cases} \rightarrow \begin{cases} & \ d|a^{2}b^{2}+b^{2} \\ & \ d|b^{2}+1 \end{cases} \rightarrow d|(ab-1)(ab+1)$

از طرفی :

$(ab+1,a-b)=1\rightarrow (ab+1,ab+1-b(a-b))=1\rightarrow (ab-1,b^{2}+1)=1$

$(ab-1,a+b)=1\rightarrow (ab-1,ab-1-b(a+b))=1\rightarrow (ab+1,b^{2}+1)=1$

که چون فرض کردیم

$d\neq 1$

و

$(ab+1,b^{2}+1)=1$

و

$(ab-1,b^{2}+1)=1$

و

$d|b^{2}+1$

پس تناقض حاصل میشود

mathematician · 1389/2/9

راه حل منم دقیقا" همینه.
سوال نسبتا" ساده ای بود!

Amir Hossein Parvardi · 1389/2/9

درسته،ممنون!

azfandak · 1389/2/9

قابل توجه اون با هوشایی که اثبات کردند اون دو عبارت نسبت به هم اولند
ممکنه که هر کدوم از عبارات مربع کامل باشن
متاسفم براتون

shoki · 1389/2/9

می تونید واضح تر بگید ؟؟

mathematician · 1389/2/9

من ثابت کردم که هیچ کدوم مربع کامل نیستن!!!

mahtaaab · 1389/2/9

خب واضحه كه نمي تونن هر كدوم مربع كامل باشن . 2 تا عدد طبيعي متوالي هر 2 مربع كامل نيستن !

mathematician · 1389/2/9

دقیقا".

حتی میشه گفت a^2 + 1 بین a^2 وa+1)^2 )هست.

morvarid · 1389/2/9

azfandak گفت

دقیقا!!!!!

farid_frd · 1389/2/9

azfandak گفت

** میخواستم نقل قول کنم اشتباهی تشکر کردم **
آقا یا خانم خیلی باهوش
من فکر کردم این قسمت بدیهیه که ننوشتم
فرض می کنیم :

$\exists a,x\in \mathbb{N}:a^{2}+1=x^{2}\rightarrow (x-a)(x+a)=1\xrightarrow[]{a,x\in \mathbb{N}}x-a=x+a=1\rightarrow a=-a\rightarrow a=0$

پس

$\forall a,x\in \mathbb{N}:a^{2}+1\neq x^{2}$

مرحله ي دوم المپياد رياضي سال 89-88 (سوال 1)

راهبر ریاضی

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member