پاسخ : معادله ی دیفرانسیل معروف.
4 تا تعریف از e
اینجا هست که باید ثابت بشه هم ارز هستن ( یعنی یک e رو معرفی می کنن).
تعریف 1) e برابر پایه ی تابع نمایی است که مشتقش در صفر، برابر 1 باشد.
تعریف 2) e پایه ی لگاریتم طبیعی است که از انتگرال
تعریف می شود.
تعریف 3)
تعریف 4)
-------------------------------------------------------------------------------------------------------
از تعریف (1) شروع می کنیم و بقیه ی تعاریف رو از اون نتیجه می گیریم، اثبات اینکه بقیه ی تعاریف هم تعریف (1) رو نتیجه میدن با برهان خلفه (که خیلی سادست):
اول نتایجی از (1) به دست می آوریم (فقط حق داریم از نمایی بودن و صفر بودن مشتق استفاده کنیم) :
پس
. (نتیجه ی دیگر هم اینکه f پیوسته است)
تعریف (2) : f یک به یک است پس معکوس دارد، آن را با
نشان می دهیم. چون
پس
تابعی پیوسته است و
.
طبق قاعده ی زنجیری (که اثباتش به e وابسته نیست) :
اما از تعریف 1 داشتیم:
از دو رابطه ی قبلی داریم:
پس معکوس تابع نمایی e^x (که لگاریتم با پایه ی e است) با لگاریتم طبیعی برابر است.
تعریف (3) : از تعاریف (1) و (2) و گرفتن لگاریتم از عبارت داخل حد و استفاده از قاعده ی هوپیتال به دست می آید.
تعریف (4) : فقط با استفاده از بسط تیلور و نتیجه ی تعریف (1) نتیجه ی مطلوب به دست می آید.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------
برای مسئله ی اصلی هم فکر کنم بهتره دامنه رو مشخص کنید.
یک جواب بدیهی با دامنه ی R هم که کسی اشاره نکرد، تابع ثابت صفره!