نابرابری برای اضلاع و زوایای مثلث

M_Sharifi · 1389/6/10

یه سوال:
فرض کنید

$a,b,c$

طول اضلاع یک مثلث حاده الزاویه و

$\alpha,\beta,\gamma$

زوایای متناظر با آن ها هستند. ثابت کنید

[center:19df1fdea9]

$\frac{\pi}{3}\leq\frac{\alpha a^2+\beta b^2+\gamma c^2}{a^2+b^2+c^2}<\frac{\pi}{2}$

[/center:19df1fdea9]

mousavi · 1389/6/10

برای نامساوی سمت چپ با چبیشف:

$\sum \alpha \times \sum a^2\leq 3\sum \alpha a^2$

برای سمت راست پس از ساده کردن باید ثابت کنیم:

$\sum \alpha (b^2+c^2-a^2)> 0$

طبق قضیه کسینوس ها:

$(b^2+c^2-a^2)=2bc\cos \alpha > 0$

(به دلیل حاده الزاویه)